Функции, их свойства и графики. 1. Определите, какое значение функция y = 3x³ - 2 принимает при:

На фото пять заданий; ниже — решения всех. Для №5 вместо рисунка даны точки и асимптоты, по которым графики строятся, и промежутки монотонности.

Кратко: №1 — \(190,\ -83,\ -\frac{19}{8}\); №2 — \(4,\ -\frac{29}{12},\ -\frac{37}{20}\); №3 — \(\frac75,\ \frac{280}{101},\ \frac{15}{13}\).

1. Значения \(y=3x^3-2\)

Подставляем \(x\) и аккуратно считаем куб отрицательного числа.

\[ y(4)=3\cdot 4^3-2=3\cdot64-2=190 \]

\[ y(-3)=3\cdot(-3)^3-2=3\cdot(-27)-2=-83 \]

\[ y(-0{,}5)=3\left(-\frac12\right)^3-2=-\frac38-2=-\frac{19}{8} \]

Ответ: а) \(190\); б) \(-83\); в) \(-\frac{19}{8}\).

---

2. Значения \(y=\dfrac{x^2-x+2}{x-1}\)

Функция не определена при \(x=1\), но среди данных значений такого \(x\) нет.

\[ y(2)=\frac{4-2+2}{2-1}=4 \]

\[ y\left(\frac14\right) =\frac{\frac1{16}-\frac14+2}{\frac14-1} =\frac{\frac{29}{16}}{-\frac34} =-\frac{29}{12} \]

\[ y(-0{,}6) =\frac{\frac{9}{25}+\frac35+2}{-\frac35-1} =\frac{\frac{74}{25}}{-\frac85} =-\frac{37}{20} \]

Ответ: а) \(4\); б) \(-\frac{29}{12}\); в) \(-\frac{37}{20}\).

---

3. Значения \(y=\dfrac{2x+3}{x^2+1}\)

\[ y(2)=\frac{4+3}{4+1}=\frac75 \]

\[ y(-0{,}1)=\frac{-0{,}2+3}{0{,}01+1} =\frac{2{,}8}{1{,}01} =\frac{280}{101} \]

\[ y\left(-\frac23\right) =\frac{-\frac43+3}{\frac49+1} =\frac{\frac53}{\frac{13}{9}} =\frac{15}{13} \]

Ответ: а) \(\frac75\); б) \(\frac{280}{101}\); в) \(\frac{15}{13}\).

---

4. Области определения

Учитываем: знаменатель не равен нулю; под корнем чётной степени — неотрицательное выражение; если корень стоит в знаменателе — подкоренное выражение строго положительно.

а) \(y=x^2+1\):
\[ x\in(-\infty,+\infty) \]

б) \(y=\frac1x\):
\[ x\ne0 \]

в) \(y=\frac1{x^2-1}\):
\[ x^2-1\ne0 \Rightarrow x\ne\pm1 \]

г) \(y=\sqrt{x}\):
\[ x\ge0 \]

д) \(y=\frac{x-1}{x^2+3x+2}\):
\[ x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\ne0 \] \[ x\ne-1,\quad x\ne-2 \]

е) \(y=\frac1{x^3+x}\):
\[ x^3+x=x(x^2+1)\ne0 \] Так как \(x^2+1>0\), то \(x\ne0\).

ж) \(y=\frac{\sqrt{9-x^2}}{x+1}\):
\[ 9-x^2\ge0 \Rightarrow x\in[-3,3], \qquad x\ne-1 \] \[ D(y)=[-3,-1)\cup(-1,3] \]

з) \(y=\frac{2x-1}{\sqrt{x^2+2x+3}}\):
\[ x^2+2x+3>0 \] Дискриминант \(D=4-12=-8<0\), поэтому выражение положительно при всех \(x\).
\[ D(y)=\mathbb R \]

и) \(y=\sqrt{1+x}\):
\[ 1+x\ge0 \Rightarrow x\ge-1 \]

к) \(y=\sqrt{2x^2+x+8}\):
Дискриминант \(1-64=-63<0\), подкоренное выражение всегда положительно.
\[ D(y)=\mathbb R \]

л) \(y=\sqrt{x^3-4x}\):
\[ x^3-4x=x(x-2)(x+2)\ge0 \] Методом интервалов: \[ D(y)=[-2,0]\cup[2,+\infty) \]

м) \(y=\frac{x-4}{\sqrt{x^2-x-2}}\):
Нужно \(x^2-x-2>0\): \[ (x-2)(x+1)>0 \] \[ D(y)=(-\infty,-1)\cup(2,+\infty) \]

н) \(y=\frac{x}{x^2-4x-5}\):
\[ x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\ne0 \] \[ x\ne5,\quad x\ne-1 \]

о) \(y=\sqrt{7-2x}\):
\[ 7-2x\ge0 \Rightarrow x\le\frac72 \] \[ D(y)=\left(-\infty,\frac72\right] \]

п) \(y=\frac{\sqrt{2-x^2}}{x^2+7x+12}\):
\[ 2-x^2\ge0 \Rightarrow x\in[-\sqrt2,\sqrt2] \] Знаменатель обращается в нуль при \(x=-3\) и \(x=-4\), но эти точки не входят в промежуток.
\[ D(y)=[-\sqrt2,\sqrt2] \]

---

5. Графики и промежутки возрастания/убывания

Обозначения: ↑ — возрастает, ↓ — убывает. Для параболы вершина находится по формуле \(x_0=-\frac{b}{2a}\). В точках разрыва интервалы монотонности не объединяем.

Функция	Что отметить на графике	Возрастание / убывание
а) \(y=x^2-3\)	парабола вверх, вершина \((0,-3)\), точки \((\pm1,-2)\), \((\pm2,1)\)	↑ \([0,+\infty)\); ↓ \((-\infty,0]\)
б) \(y=-2x^2\)	парабола вниз, вершина \((0,0)\), точки \((\pm1,-2)\)	↑ \((-\infty,0]\); ↓ \([0,+\infty)\)
в) \(y=4x+2\)	прямая через \((0,2)\), \(\left(-\frac12,0\right)\)	↑ \(\mathbb R\); убывания нет
г) \(y=\frac1{x+1}\)	гипербола, асимптоты \(x=-1\), \(y=0\); точки \((0,1)\), \((-2,-1)\)	↓ на \((-\infty,-1)\) и \((-1,+\infty)\); возрастания нет
д) \(y=\sqrt{x-1}\)	ветвь корня из \((1,0)\), проходит через \((2,1)\)	↑ \([1,+\infty)\); убывания нет
е) \(y=-x^3+1\)	кубическая кривая через \((-1,2)\), \((0,1)\), \((1,0)\)	убывает на всём \(\mathbb R\); возрастания нет
ж) \(y=x^2-2x+4\)	парабола вверх, вершина \((1,3)\), точки \((0,4)\), \((2,4)\)	↑ \([1,+\infty)\); ↓ \((-\infty,1]\)
з) \(y=-\frac2x\)	гипербола в II и IV четвертях, асимптоты — оси координат; точки \((-2,1)\), \((2,-1)\)	↑ на \((-\infty,0)\) и \((0,+\infty)\); убывания нет
и) \(y=-x+5\)	прямая через \((0,5)\), \((5,0)\)	убывает на \(\mathbb R\); возрастания нет
к) \(y=\sqrt{2x+1}\)	начинается в \(\left(-\frac12,0\right)\), проходит через \((0,1)\)	↑ \(\left[-\frac12,+\infty\right)\); убывания нет
л) \(y=-x^2+6x-9=-(x-3)^2\)	парабола вниз, вершина \((3,0)\), точки \((2,-1)\), \((4,-1)\)	↑ \((-\infty,3]\); ↓ \([3,+\infty)\)
м) \(y=-\frac1{x-3}\)	гипербола, асимптоты \(x=3\), \(y=0\); точки \((2,1)\), \((4,-1)\)	↑ на \((-\infty,3)\) и \((3,+\infty)\); убывания нет
н) \(y=\frac14x^3\)	кубическая кривая через \((-2,-2)\), \((0,0)\), \((2,2)\)	↑ на \(\mathbb R\); убывания нет
о) \(y=-3x-1\)	прямая через \((0,-1)\), \(\left(-\frac13,0\right)\)	убывает на \(\mathbb R\); возрастания нет
п) \(y=\sqrt{-x}\)	ветвь влево от \((0,0)\), точки \((-1,1)\), \((-4,2)\)	↓ \((-\infty,0]\); возрастания нет
р) \(y=-2x+9\)	прямая через \((0,9)\), \(\left(\frac92,0\right)\)	убывает на \(\mathbb R\); возрастания нет
с) \(y=-2x^2+3\)	парабола вниз, вершина \((0,3)\), точки \((\pm1,1)\)	↑ \((-\infty,0]\); ↓ \([0,+\infty)\)
т) \(y=\frac1{x+3}-1\)	гипербола, асимптоты \(x=-3\), \(y=-1\); точки \((-2,0)\), \((-4,-2)\)	↓ на \((-\infty,-3)\) и \((-3,+\infty)\); возрастания нет
у) \(y=\sqrt{9-x^2}\)	верхняя полуокружность радиуса 3 с центром \((0,0)\); точки \((-3,0)\), \((0,3)\), \((3,0)\)	↑ \([-3,0]\); ↓ \([0,3]\)
ф) \(y=\frac1{2x+3}\)	гипербола, асимптоты \(x=-\frac32\), \(y=0\); точки \((0,\frac13)\), \((-1,1)\), \((-2,-1)\)	↓ на \(\left(-\infty,-\frac32\right)\) и \(\left(-\frac32,+\infty\right)\); возрастания нет
х) \(y=x^2+2x+3\)	парабола вверх, вершина \((-1,2)\), точки \((-2,3)\), \((0,3)\)	↑ \([-1,+\infty)\); ↓ \((-\infty,-1]\)
ц) \(y=x^2-x-2\)	парабола вверх, вершина \(\left(\frac12,-\frac94\right)\), корни \(-1\) и \(2\)	↑ \(\left[\frac12,+\infty\right)\); ↓ \(\left(-\infty,\frac12\right]\)
ч) \(y=5-7x\)	прямая через \((0,5)\), \(\left(\frac57,0\right)\)	убывает на \(\mathbb R\); возрастания нет
ш) \(y=\frac1{x^2-1}\)	гипербола с асимптотами \(x=\pm1\), \(y=0\); точка \((0,-1)\)	↑ \((-\infty,-1)\) и \((-1,0]\); ↓ \([0,1)\) и \((1,+\infty)\)

---

Как понять принцип

1. Значение функции — это просто подстановка данного \(x\) в формулу. Главное — правильно возводить отрицательные числа в степень и не терять знаменатель.

2. Область определения — ищем запреты:

   • знаменатель \(\ne0\);
   • под корнем \(\ge0\);
   • если корень в знаменателе, то под корнем \(>0\).

3. Возрастание/убывание:

   • у параболы всё определяется вершиной: слева от неё одна монотонность, справа — другая;
   • у линейной функции смотри на коэффициент при \(x\);
   • у гиперболы обязательно разделяй интервалы асимптотой;
   • у корня функция возрастает от начала области определения;
   • у \(y=\sqrt{R^2-x^2}\) получается верхняя полуокружность.

4. Проверка: можно взять две точки на соседних участках и сравнить значения функции — так сразу видно, возрастает она или убывает.