(x(2+√(x²−y²))−y(1+2√(x²−y²)))/√(1−x²+y²)=3u; (y(2+√(x²−y²))−x(1+2√(x²−y²)))/√(1−x²+y²)=3v

Считая \(u,v\) заданными параметрами, при \(0\le 3(u^2-v^2)<1\) получаем:

\[ r=\sqrt{3(u^2-v^2)},\qquad q=\sqrt{1-r^2}, \] \[ x=\frac{(2+r)u+(1+2r)v}{q},\qquad y=\frac{(1+2r)u+(2+r)v}{q}. \]

Если \(3(u^2-v^2)\notin[0,1)\), действительных решений нет.

Почему так. Обозначим \[ r=\sqrt{x^2-y^2}\ge0,\qquad q=\sqrt{1-x^2+y^2}>0, \] тогда \(r^2=x^2-y^2\) и \(q^2=1-r^2\). Пусть \(N_1,N_2\) — числители дробей. Сложив и вычтя их, находим: \[ N_1+N_2=(1-r)(x+y),\qquad N_1-N_2=3(1+r)(x-y). \] По системе \(N_1=3uq,\ N_2=3vq\), поэтому \[ (1-r)(x+y)=3q(u+v), \] \[ (1+r)(x-y)=q(u-v). \] Перемножив эти равенства: \[ r^2=(x+y)(x-y)=3(u^2-v^2). \] Отсюда \(r=\sqrt{3(u^2-v^2)}\). Затем \[ x+y=\frac{3q(u+v)}{1-r},\qquad x-y=\frac{q(u-v)}{1+r}, \] и по формулам полусуммы/полуразности получаем \(x\) и \(y\) выше.

Проверка: после подстановки обратно \(N_1=3uq,\ N_2=3vq\), то есть исходные уравнения выполняются.