57. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: а) 5y + 2; б) 18/y; в) 1/(x - 7); г) (m - 1)/4; д) 7a/(3 + a); е) 2b/(10 - b)?

Краткий ответ:

а) \(y\in\mathbb R\) — ограничений нет;
б) \(y\ne0\);
в) \(x\ne7\);
г) \(m\in\mathbb R\) — ограничений нет;
д) \(a\ne-3\);
е) \(b\ne10\).

Почему так: выражение с дробью имеет смысл только тогда, когда знаменатель не равен нулю. Делить на ноль нельзя. Числитель при этом может быть любым, в том числе нулём.

• а) \(5y+2\) — дроби нет, значит, \(y\) может быть любым.
• б) \(\dfrac{18}{y}\): знаменатель \(y\), поэтому \(y\ne0\).
• в) \(\dfrac{1}{x-7}\): нужно \(x-7\ne0\), откуда \(x\ne7\).
• г) \(\dfrac{m-1}{4}\): знаменатель равен \(4\), а \(4\ne0\), поэтому \(m\) может быть любым.
• д) \(\dfrac{7a}{3+a}\): нужно \(3+a\ne0\), откуда \(a\ne-3\).
• е) \(\dfrac{2b}{10-b}\): нужно \(10-b\ne0\), откуда \(b\ne10\).

Проверка: если в пунктах б), в), д), е) подставить запрещённое значение, получится деление на ноль. В пунктах а) и г) деления на переменную нет, поэтому запретов нет.