ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ. МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП. 2026–2027 учебный год, 7 класс. 7.1 Через П(x) будем обозначать произведение цифр натурального числа x.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП 2026–2027 учебный год, 7 класс
7.1 Через П(x) будем обозначать произведение цифр натурального числа x. Пусть a = 3535...3535. Найдите какие-нибудь два последовательных натуральных числа b и c (b < c) таких, что П(c) − П(b) = П(a).
7.2 На острове живут 27 человек — рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Они собрались вместе. Сначала 11 человек сказали, что среди этих 27 человек рыцарей чётное количество, потом другие 15 островитян сказали, что среди этих 27 человек рыцарей нечётное количество. А какую из этих двух фраз мог произнести оставшийся 27-й островитянин?
7.3 Пятизначное число, состоящее из различных цифр, назовем хорошим, если оно обладает следующими свойствами: если зачеркнуть его последнюю цифру, то полученное четырёхзначное число будет делиться на 2, если зачеркнуть предпоследнюю цифру, то полученное четырёхзначное число будет делиться на 3, если зачеркнуть третью цифру, то полученное четырёхзначное число будет делиться на 4, если зачеркнуть вторую цифру, то полученное четырёхзначное число будет делиться на 5, если зачеркнуть первую цифру, то полученное четырёхзначное число будет делиться на 6. Найдите какое-нибудь хорошее число с суммой цифр 23.
7.4 На 8 карточках написаны различные натуральные числа (по одному числу на карточке). На одной из карточек написано число 10. Для каждой пары карточек на доску записали число, равное частному от деления большего из чисел на меньшее (частное может быть нецелым). Оказалось, что число 2 было выписано на доску не менее 5 раз. Найдите наименьшую возможную сумму чисел, записанных на этих 8 карточках.
7.5 Вася придумал шахматную фигуру «лодка». Эта фигура бьёт все клетки только по горизонтали или только по вертикали (игрок, поставив фигуру, выбирает, будет ли лодка — вся вертикаль или вся горизонталь). Какое максимальное число лодок можно поставить на доску 8×8 так, чтобы ни одна лодка не била другую?
На фото пять задач — решаю все.
Краткие ответы
| № | Ответ |
|---|---|
| 7.1 | \(b=10a,\quad c=10a+1\) |
| 7.2 | Фразу о чётном числе рыцарей |
| 7.3 | \(24980\) |
| 7.4 | \(39\) |
| 7.5 | \(14\) |
Решения
7.1. Возьмём \(b=10a\), \(c=10a+1\). Тогда \(b\) оканчивается на 0, поэтому произведение его цифр равно 0: \[ P(b)=0. \] Число \(c\) получается из \(a\) приписыванием справа единицы, поэтому \[ P(c)=P(a)\cdot 1=P(a). \] Значит, \[ P(c)-P(b)=P(a)-0=P(a). \] То есть подходят \(b\) — это \(a\) с нулём справа, \(c\) — это \(a\) с единицей справа.
7.2. Пусть \(K\) — число рыцарей.
- Если \(K\) чётно, то верна фраза «рыцарей чётное количество». Тогда 11 человек, сказавших это, — рыцари, 15 — лжецы. Оставшийся должен быть рыцарем, чтобы \(K\) осталось чётным, и он скажет «чётное».
- Если \(K\) нечётно, то верна фраза «рыцарей нечётное количество». Тогда 15 человек, сказавших это, — рыцари, 11 — лжецы. Оставшийся должен быть лжецом, чтобы \(K\) осталось нечётным, и он солжёт — скажет «чётное».
В обоих случаях оставшийся мог сказать фразу про чётное количество рыцарей.
7.3. Пусть число имеет вид \(\overline{abcde}\).
Удаление второй цифры даёт число, кратное 5, поэтому \(e=0\) или \(e=5\). Удаление первой цифры даёт число, краткое 6, значит оно чётно, поэтому \(e\) чётно. Следовательно, \[ e=0. \] Тогда сумма цифр: \[ a+b+c+d=23. \] Условия кратности дают: \[ a+b+c\equiv0\pmod3,\qquad b+c+d\equiv0\pmod3. \] Так как \(23\equiv2\pmod3\), получаем \(d\equiv2\pmod3\) и \(a\equiv2\pmod3\). Возьмём \(a=2,\ d=8\). Тогда \[ b+c=23-2-8=13. \] Подходят, например, \(b=4,\ c=9\).
Получаем число: \[ 24980. \] Проверка: \(2498\) делится на 2; \(2490\) делится на 3; \(2480\) делится на 4; \(2980\) делится на 5; \(4980\) делится на 6. Сумма цифр \(2+4+9+8+0=23\).
7.4. Частное 2 получается для пары чисел, где большее вдвое больше меньшего.
Набор \[ \{1,2,3,4,5,6,8,10\} \] даёт пять таких пар: \[ (1,2),\ (2,4),\ (4,8),\ (3,6),\ (5,10). \] Его сумма: \[ 1+2+3+4+5+6+8+10=39. \] Меньше 39 быть не может: минимальная возможная сумма восьми различных натуральных чисел с числом 10 равна \[ 1+2+3+4+5+6+7+10=38, \] но в этом наборе только четыре пары с отношением 2. Значит, минимум равен \(39\).
7.5. Пусть \(h\) — число горизонтальных лодок, \(v\) — вертикальных.
Горизонтальная лодка «простреливает» всю свою строку, поэтому в её строке не может быть других лодок. Если есть и горизонтальные, и вертикальные лодки, то: \[ h\le7,\qquad v\le7. \] Значит, всего лодок не больше \[ h+v\le14. \]
Пример на 14 лодок: поставим 7 горизонтальных лодок в столбец 8, в строки 1–7, а 7 вертикальных — в строку 8, в столбцы 1–7. Они не бьют друг друга. Поэтому максимум равен \(14\).
