215 1) 0,3^(x³−x²+x−1)=1; 2) (2 1/3)^(−x²−2x+3)=1; 3) 5,1^(2/(x−3))=5,1√5,1; 4) 100^(x²−1)=10^(1−5x)

Краткий ответ

• 215: 1) \(1\); 2) \(-3;\ 1\); 3) \(\frac{13}{3}\); 4) \(-3;\ \frac12\).
• 216: 1) \(\frac23\); 2) \(\frac45\); 3) \(-\frac72;\ \frac72\); 4) \(-1\); 5) \(0;\ \frac32\); 6) \(-3;\ \frac12\).
• 217: 1) \(-1;\ 1\); 2) \(0;\ 2{,}06\); 3) \(0\); 4) \(4\).
• 218: 1) \(1\); 2) \(y=3\); 3) \(1\); 4) \(2\).
• 219: 1) \(2\); 2) \(3\); 3) при чтении \(3^{4x}=5^{x+2}\):
  \[ x=\log_{81/5}25=\frac{2\ln5}{4\ln3-\ln5}. \]

В 217.2 и 219.3 показатели на фото мелкие; я читаю их как \(5^{2x}\cdot(5^{-1})^{-0{,}06x}=5^{x^2}\) и \(3^{4x}=5^{x+2}\).

Как решать

Главное правило:

\[ a^{f(x)}=a^{g(x)},\quad a>0,\ a\ne1 \quad\Longrightarrow\quad f(x)=g(x). \]

То есть степени с одинаковым основанием можно «отбросить», приравняв показатели. Если основания разные, стараемся привести к одному или пользуемся логарифмами.

215

1. \(0{,}3^{\,x^3-x^2+x-1}=1=0{,}3^0\), поэтому
   \[ x^3-x^2+x-1=0, \] \[ (x-1)(x^2+1)=0 \Rightarrow x=1. \]

2. Основание \(2\frac13\ne1\), значит: \[ -x^2-2x+3=0, \] \[ x^2+2x-3=0 \Rightarrow x=-3;\ 1. \]

3. \(5{,}1\sqrt{5{,}1}=5{,}1^{3/2}\). Тогда: \[ \frac{2}{x-3}=\frac32 \Rightarrow x=\frac{13}{3}. \]

4. \(100=10^2\): \[ 10^{2(x^2-1)}=10^{1-5x}, \] \[ 2x^2-2=1-5x, \] \[ 2x^2+5x-3=0 \Rightarrow x=-3;\ \frac12. \]

216

Переводим корни в степени: \[ \sqrt[3]{100}=10^{2/3},\quad \sqrt[5]{10000}=10^{4/5},\quad \sqrt[4]{10000}=10. \]

Отсюда:

1. \(x=\frac23\);
2. \(x=\frac45\);
3. \(10^x=10^{-1}\Rightarrow x=-1\).

В 3) \(225=15^2\): \[ 15^{\,2(2x^2-24)}=15^1, \] \[ 4x^2-48=1 \Rightarrow x^2=\frac{49}{4}, \] \[ x=\pm\frac72. \]

В 5): \[ (\sqrt{10})^x=10^{x/2}, \] \[ \frac{x}{2}=x^2-x, \] \[ 2x^2-3x=0 \Rightarrow x=0;\ \frac32. \]

Пункт 6) такой же, как 215.4: \(x=-3;\ \frac12\).

217

1. \(\sqrt[4]{8}=2^{3/4}\), а \((\frac12)^{1/4}=2^{-1/4}\): \[ 2^{x^2-1/4}=2^{3/4}, \] \[ x^2-\frac14=\frac34 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1. \]

2. При чтении \(5^{2x}\cdot(5^{-1})^{-0{,}06x}=5^{x^2}\): \[ 5^{2x+0{,}06x}=5^{x^2}, \] \[ x^2=2{,}06x, \] \[ x=0 \quad\text{или}\quad x=2{,}06=\frac{103}{50}. \]

3. Основания \(\frac12\) одинаковые: \[ \sqrt{1-x}-1=2x. \] После возведения в квадрат получаются \(x=0\) и \(x=-\frac54\). Второй корень не подходит по области определения, остаётся \(x=0\).

4. Область определения: \(x\ge0\).
   \[ \sqrt{x+12}-2=\sqrt x, \] \[ \sqrt{x+12}=\sqrt x+2. \] Возводим в квадрат: \[ x+12=x+4\sqrt x+4, \] \[ 8=4\sqrt x \Rightarrow \sqrt x=2 \Rightarrow x=4. \]

218

Здесь выносим общий множитель — меньшую степень.

1. \[ 7^{x-1}(7-1)=6, \] \[ 6\cdot7^{x-1}=6 \Rightarrow 7^{x-1}=1 \Rightarrow x=1. \]

2. \[ 3^{2y-4}(3^3+3^2-1)=315, \] \[ 3^{2y-4}(27+9-1)=315, \] \[ 35\cdot3^{2y-4}=315, \] \[ 3^{2y-4}=9=3^2, \] \[ 2y-4=2 \Rightarrow y=3. \]

3. \[ 5^{3x-2}(5^2+3)=140, \] \[ 5^{3x-2}\cdot28=140, \] \[ 5^{3x-2}=5 \Rightarrow 3x-2=1 \Rightarrow x=1. \]

4. \[ 2^{x-1}(2^2+3-5\cdot2)+6=0, \] \[ 2^{x-1}(4+3-10)+6=0, \] \[ -3\cdot2^{x-1}+6=0, \] \[ 2^{x-1}=2 \Rightarrow x-1=1 \Rightarrow x=2. \]

219

1. \(3^{2-x}=3^{-(x-2)}\): \[ 7^{x-2}=3^{-(x-2)}, \] \[ (7\cdot3)^{x-2}=1, \] \[ 21^{x-2}=1 \Rightarrow x=2. \]

2. \(3^{3-x}=3^{-(x-3)}\): \[ 2^{x-3}=3^{-(x-3)}, \] \[ 6^{x-3}=1 \Rightarrow x=3. \]

3. Если уравнение \(3^{4x}=5^{x+2}\), логарифмируем: \[ 4x\ln3=(x+2)\ln5, \] \[ x(4\ln3-\ln5)=2\ln5, \] \[ x=\frac{2\ln5}{4\ln3-\ln5}. \]

Если в 217.2 или 219.3 в книге запись чуть другая, пришли этот фрагмент крупнее — поправлю по точной записи.