16ˣ - 4ˣ⁺² + 39 = 0
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
\(16^{x} - 4^{x+2} + 39 = 0\) \(4^{2x} - 4^{x}\cdot 16 + 39\) Замена: Пусть \(4^{x} = t,\ t > 0\) \(t^{2} - 16t + 39 = 0\) \(D = 256 - 4\cdot 39 = 256 - 156 = 100\)
Краткий ответ: \[ x=\log_4 3 \quad \text{или} \quad x=\log_4 13. \]
Ключевые шаги
На фото уже намечен верный ход: уравнение \[ 16^x-4^{x+2}+39=0 \] сводится к квадратному заменой \(t=4^x\).
Приводим степени к основанию \(4\): \[ 16^x=(4^2)^x=4^{2x}=(4^x)^2, \] \[ 4^{x+2}=4^x\cdot 4^2=16\cdot 4^x. \] Поэтому: \[ (4^x)^2-16\cdot 4^x+39=0. \]
Замена: \[ t=4^x,\quad t>0 \] так как \(4^x>0\) при любом \(x\). Получаем: \[ t^2-16t+39=0. \]
Дискриминант: \[ D=(-16)^2-4\cdot 1\cdot 39=256-156=100, \] \[ \sqrt{D}=10. \] Корни: \[ t_{1,2}=\frac{16\pm 10}{2}, \] \[ t_1=13,\quad t_2=3. \]
Оба корня положительны, значит оба подходят. Возвращаемся к \(x\): \[ 4^x=3 \Rightarrow x=\log_4 3, \] \[ 4^x=13 \Rightarrow x=\log_4 13. \]
Проверка
Для \(x=\log_4 3\): \[ 16^x=9,\quad 4^{x+2}=3\cdot 16=48, \] \[ 9-48+39=0. \]
Для \(x=\log_4 13\): \[ 16^x=169,\quad 4^{x+2}=13\cdot 16=208, \] \[ 169-208+39=0. \]
Я проверил оба корня — они подходят.
Принцип: показательное уравнение с одинаковыми основаниями после замены \(t=4^x\) превращается в квадратное. Обязательно учитывай условие \(t>0\): корень \(t\le 0\) пришлось бы отбросить, потому что \(4^x\) всегда положительно.
