реши с один из углов ромба образует угол 72 градуса до конца. С дано найти решение и рисунком

Продолжение решения:

4. Все углы ромба: \[ \angle A=\angle C=72^\circ,\qquad \angle B=\angle D=108^\circ. \] Проверка: \(72^\circ+108^\circ=180^\circ\) — соседние углы ромба в сумме дают \(180^\circ\).

5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: \[ \angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle DOA=90^\circ. \]

6. В прямоугольном треугольнике \(AOB\): \[ \angle OAB=36^\circ,\qquad \angle ABO=54^\circ,\qquad \angle AOB=90^\circ. \] Аналогично во всех четырёх треугольниках, на которые диагонали разбивают ромб, острые углы равны \(36^\circ\) и \(54^\circ\).

Итог: каждая сторона ромба образует с одной диагональю угол \(36^\circ\), с другой — \(54^\circ\); углы ромба — \(72^\circ\) и \(108^\circ\); диагонали пересекаются под прямым углом.

Я решил задачу про ромб полностью, но других заданий после неё в чате нет — я вижу только её.

Пришли фото страницы или текст следующих заданий, и я решу их по порядку. Если на фото несколько номеров — укажи, с какого начинать.

Ниже — все 6 заданий варианта 1.

1. Стороны параллелограмма

Рисунок:

  D──────C
 /      /
A──────B

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; одна сторона на \(6\) см больше другой; \(P=48\) см.
Найти: стороны.

Решение:
Пусть меньшая сторона \(x\), тогда большая \(x+6\): \[ 2(x+x+6)=48 \] \[ 4x+12=48,\quad x=9 \] Большая сторона: \(9+6=15\).

Ответ: \(9\) см и \(15\) см.

---

2. Периметр треугольника COD

Рисунок:

A────────B
│ \    / │
│   O    │
│ /    \ │
D────────C

Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(AB=9\) см, \(AC=16\) см.
Найти: \(P_{\triangle COD}\).

Решение:
Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам: \[ CO=OD=\frac{AC}{2}=8\text{ см} \] Противоположные стороны прямоугольника равны: \[ CD=AB=9\text{ см} \] Тогда \[ P_{\triangle COD}=8+8+9=25\text{ см} \]

Ответ: \(25\) см.

---

3. Углы стороны ромба с диагоналями

Рисунок:

      A
     /|\
    / | \
   D--O--B
    \ | /
     \|/
      C

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle A=72^\circ\).
Найти: углы, которые образует сторона ромба с диагоналями.

Решение:
Диагонали ромба делят его углы пополам: \[ \angle BAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ \] Соседний угол ромба: \[ \angle ABC=180^\circ-72^\circ=108^\circ \] Его диагональ делит пополам: \[ \angle ABD=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ \]

Ответ: сторона ромба образует с диагоналями углы \(36^\circ\) и \(54^\circ\).

---

4. Доказать \(CE=AF\)

Рисунок: точки \(E\) и \(F\) лежат на диагонали \(BD\), порядок \(B-E-F-D\).

A────────B
 \   E  /
  \  F /
   \  /
D────C

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; \(E,F\in BD\); \(E\) лежит между \(B\) и \(F\); \(\angle BCE=\angle DAF\).
Доказать: \(CE=AF\).

Доказательство:
Так как \(BC\parallel AD\), а \(BD\) — секущая, то \[ \angle CBE=\angle ADF \] По условию: \[ \angle BCE=\angle DAF \] Противоположные стороны параллелограмма равны: \[ BC=AD \] Значит, треугольники \(BCE\) и \(DAF\) равны по стороне и двум прилежащим углам.
Следовательно, соответствующие стороны равны: \[ CE=AF \]

Что и требовалось доказать.

---

5. Периметр параллелограмма

Рисунок:

A────────B
 \       │
  \      E
   \     │
D────────C

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; \(AE\) — биссектриса \(\angle A\); \(E\in BC\); \(BE=3EC\); \(BC=12\) см.
Найти: \(P_{ABCD}\).

Решение:
\[ BE+EC=12 \] \[ 3EC+EC=12 \] \[ 4EC=12,\quad EC=3\text{ см} \] \[ BE=9\text{ см} \] Так как \(AD\parallel BC\), то \[ \angle EAD=\angle AEB \] Но \(AE\) — биссектриса, значит \[ \angle BAE=\angle EAD \] Тогда \[ \angle BAE=\angle AEB \] Поэтому треугольник \(ABE\) равнобедренный: \[ AB=BE=9\text{ см} \] Периметр: \[ P=2(AB+BC)=2(9+12)=42\text{ см} \]

Ответ: \(42\) см.

---

6. Доказать, что \(AMCK\) — параллелограмм

Рисунок:

A────────B
│\       │
K─\──O───M
│  \     │
D───\────C

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм; \(O\) — середина \(AC\); прямая через \(O\) пересекает \(BC\) в точке \(M\), \(AD\) в точке \(K\).
Доказать: \(AMCK\) — параллелограмм.

Доказательство:
\(O\) — середина \(AC\), поэтому \[ AO=OC \] Углы при точке \(O\) вертикальные: \[ \angle AOK=\angle COM \] Так как \(AD\parallel BC\), то \[ \angle OAK=\angle OCM \] Значит, треугольники \(AOK\) и \(COM\) равны по стороне и двум прилежащим углам.
Следовательно: \[ AK=CM \] При этом \(AK\parallel CM\), так как \(AK\subset AD\), \(CM\subset BC\), а \(AD\parallel BC\).
Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то он является параллелограммом.

Значит, \(AMCK\) — параллелограмм. Что и требовалось доказать.