20.2
Сверь числа и знаки с фото.
20.2. Решите уравнение:
- \(\cos(70^\circ + x)\cos(x - 20^\circ) = \frac{1}{2}\);
- \(\sin(40^\circ + x)\sin(x - 50^\circ) = 1\).
Для задания 20.2 (оба пункта):
\(x=-25^\circ+180^\circ n,\quad n\in\mathbb Z\)
(то же самое: \(x=155^\circ+180^\circ n\)).Действительных корней нет.
Как это получается
Используем формулы преобразования произведения в сумму.
1)
\[
\cos(70^\circ+x)\cos(x-20^\circ)=
\frac{\cos(2x+50^\circ)+\cos 90^\circ}{2}
=\frac{\cos(2x+50^\circ)}{2}.
\]
Так как \(\cos 90^\circ=0\), уравнение принимает вид:
\[
\frac{\cos(2x+50^\circ)}{2}=\frac12.
\]
Значит,
\[
\cos(2x+50^\circ)=1.
\]
Тогда
\[
2x+50^\circ=360^\circ n,
\]
\[
x=180^\circ n-25^\circ.
\]
Проверка при \(n=0\): \(x=-25^\circ\), \[ \cos45^\circ\cos(-45^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac12. \] Верно.
2)
\[
\sin(40^\circ+x)\sin(x-50^\circ)=
\frac{\cos90^\circ-\cos(2x-10^\circ)}{2}
=-\frac{\cos(2x-10^\circ)}{2}.
\]
Тогда
\[
-\frac{\cos(2x-10^\circ)}{2}=1,
\]
\[
\cos(2x-10^\circ)=-2.
\]
Но косинус не может быть меньше \(-1\), поэтому решений нет.
Общий принцип: произведение синусов и косинусов удобно сводить к сумме по формулам произведения. После этого получается простейшее уравнение вида \(\cos t=a\) или \(\sin t=a\); если \(|a|>1\), корней нет.
Обсуждение
2 сообщения20.3
20.3. Ответы (\(n\in\mathbb Z\)):
\[ x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{6}. \]
\[ x=\frac{\pi n}{2}. \]
Если в условии \(\sin 3x\): \[ x=\frac{\pi n}{2} \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8}. \]
\[ x=\frac{\pi n}{5} \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi n}{7}. \]
Как получены ответы
1) \[ (\cos5x+\cos7x)-(\sin5x+\sin7x)=0. \] По формулам суммы: \[ 2\cos6x\cos x-2\sin6x\cos x=0, \] \[ 2\cos x(\cos6x-\sin6x)=0. \] Отсюда \(\cos x=0\) или \(\operatorname{tg}6x=1\).
2) \[ \cos10x\cos6x-\cos^28x=0. \] Используем формулы: \[ \cos10x\cos6x=\frac{\cos16x+\cos4x}{2}, \] \[ \cos^28x=\frac{1+\cos16x}{2}. \] Тогда: \[ \frac{\cos4x-1}{2}=0, \] \[ \cos4x=1, \] \[ x=\frac{\pi n}{2}. \]
3) Для уравнения \[ \sin x\cos5x-\sin3x\cos7x=0 \] получаем: \[ \frac{\sin6x-\sin4x}{2}-\frac{\sin10x-\sin4x}{2}=0, \] \[ \sin6x-\sin10x=0. \] То есть \[ \sin6x=\sin10x. \] Отсюда две серии решений: \[ x=\frac{\pi n}{2} \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8}. \]
4) \[ \sin x\sin3x+\sin4x\sin8x=0. \] По формуле произведения: \[ \frac{\cos2x-\cos4x}{2}+ \frac{\cos4x-\cos12x}{2}=0, \] \[ \cos2x-\cos12x=0. \] Далее: \[ 2\sin7x\sin5x=0. \] Значит: \[ x=\frac{\pi n}{7} \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi n}{5}. \]
В пункте 3 я прочитал второй угол как \(3x\). Если в книге стоит \(9x\), уточните — это существенно изменит решение.
