реши с дано найти решение и рисунком
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольные работы Вариант 1 Контрольная работа № 1 Тема. Параллелограмм и его виды
- Одна из сторон параллелограмма на 6 см больше другой, а его периметр равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма.
- В прямоугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\), \(AB = 9\) см, \(AC = 16\) см. Найдите периметр треугольника \(COD\).
- Один из углов ромба равен \(72^\circ\). Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями.
- На диагонали \(BD\) параллелограмма \(ABCD\) отметили точки \(E\) и \(F\) так, что \(\angle BCE = \angle DAF\) (точка \(E\) лежит между точками \(B\) и \(F\)). Докажите, что \(CE = AF\).
- В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса угла \(A\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(E\). Отрезок \(BE\) больше отрезка \(EC\) в 3 раза. Найдите периметр параллелограмма, если \(BC = 12\) см.
- Прямая проходит через середину диагонали \(AC\) параллелограмма \(ABCD\) и пересекает стороны \(BC\) и \(AD\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно. Докажите, что четырёхугольник \(AMCK\) — параллелограмм.
На фото 6 заданий — решаю все. Рисунки схематичные.
1
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AB=a\), \(AD=b\), \(a=b+6\), \(P=48\) см.
Найти: \(a,b\).
Рисунок:
A────B
╱ ╱
D────C
\[ 2(a+b)=48 \Rightarrow a+b=24, \] \[ b+6+b=24 \Rightarrow b=9,\quad a=15. \] Ответ: \(9\) см и \(15\) см.
2
Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(O=AC\cap BD\), \(AB=9\) см, \(AC=16\) см.
Найти: \(P_{\triangle COD}\).
Рисунок:
A────────B
│╲ ╱│
│ ╲ ╱ │
│ O │
│ ╱ ╲ │
│╱ ╲│
D────────C
\[ CO=DO=\frac{AC}{2}=8,\quad CD=AB=9, \] \[ P_{\triangle COD}=8+8+9=25. \] Ответ: \(25\) см.
3
Дано: ромб \(ABCD\), \(\angle A=72^\circ\).
Найти: углы стороны ромба с диагоналями.
Рисунок:
A
╱ ╲
D B
╲ ╱
C
Диагонали ромба — биссектрисы углов, соседний угол равен \(108^\circ\): \[ \frac{72^\circ}{2}=36^\circ,\qquad \frac{108^\circ}{2}=54^\circ. \] Ответ: \(36^\circ\) и \(54^\circ\).
4
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(E,F\in BD\), порядок \(B-E-F-D\), \(\angle BCE=\angle DAF\).
Доказать: \(CE=AF\).
Рисунок: точки на диагонали расположены так: \(B-E-F-D\).
Так как \(BC\parallel AD\), а \(B,E,F,D\) лежат на одной прямой, то
\[
\angle CBE=\angle ADF.
\]
Кроме того, \(\angle BCE=\angle DAF\) по условию и \(BC=AD\) как противоположные стороны. Значит,
\[
\triangle BCE\cong\triangle DAF
\]
по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, \(CE=AF\).
Доказано.
5
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AE\) — биссектриса \(\angle A\), \(E\in BC\), \(BE=3EC\), \(BC=12\) см.
Найти: \(P_{ABCD}\).
Рисунок:
A────────B
╲ │
╲ E
╲ │
D────────C
Так как \(AD\parallel BC\), то \(\angle DAE=\angle AEB\). Но \(AE\) — биссектриса, поэтому \[ \angle BAE=\angle DAE=\angle AEB, \] значит \(AB=BE\).
Пусть \(EC=x\), тогда \(BE=3x\): \[ BC=BE+EC=4x=12 \Rightarrow x=3. \] Тогда \(BE=9\), \(AB=9\), \(AD=BC=12\). Следовательно, \[ P=2(9+12)=42. \] Ответ: \(42\) см.
6
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(O\) — середина \(AC\), \(K\in AD\), \(M\in BC\), \(K,O,M\) лежат на одной прямой.
Доказать: \(AMCK\) — параллелограмм.
Рисунок: \(K\) лежит на \(AD\), \(M\) — на \(BC\), прямая \(KM\) проходит через середину \(AC\).
В треугольниках \(AOK\) и \(COM\):
\[
AO=OC,\qquad \angle AOK=\angle COM
\]
вертикальные, а
\[
\angle OAK=\angle OCM
\]
так как \(AK\parallel CM\). Поэтому
\[
\triangle AOK\cong\triangle COM.
\]
Отсюда \(OK=OM\). Значит, диагонали \(AC\) и \(KM\) четырёхугольника \(AMCK\) точкой \(O\) делятся пополам. Следовательно, \(AMCK\) — параллелограмм.
Доказано.
