д) ((a−2b)/(a²+2ab) − (a+2b)/(a²−2ab)) : 4b²/(4b²−a²)

Разберём по шагам.

\[ \left(\frac{a-2b}{a^{2}+2ab}-\frac{a+2b}{a^{2}-2ab}\right):\frac{4b^{2}}{4b^{2}-a^{2}} \]

1. Разложим знаменатели на множители:

\[ a^{2}+2ab=a(a+2b),\qquad a^{2}-2ab=a(a-2b) \]

2. Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\[ \frac{a-2b}{a(a+2b)}-\frac{a+2b}{a(a-2b)} = \frac{(a-2b)^2-(a+2b)^2}{a(a+2b)(a-2b)} \]

Раскроем квадраты:

\[ (a-2b)^2-(a+2b)^2=-8ab \]

Значит, скобка равна:

\[ \frac{-8ab}{a(a^2-4b^2)} = \frac{-8b}{a^2-4b^2} \]

3. Деление заменим умножением на обратную дробь:

\[ \frac{-8b}{a^2-4b^2}\cdot\frac{4b^2-a^2}{4b^2} \]

Так как

\[ 4b^2-a^2=-(a^2-4b^2), \]

получаем:

\[ \frac{-8b}{a^2-4b^2}\cdot\frac{-(a^2-4b^2)}{4b^2} = \frac{8b}{4b^2} = \frac{2}{b} \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{2}{b}} \]

При условиях:

\[ a\neq 0,\quad b\neq 0,\quad a\neq 2b,\quad a\neq -2b \]

Это задание того же типа, что и предыдущее, решаю так же.

\[ \left(\frac{x+5y}{x^{2}-5xy}-\frac{x-5y}{x^{2}+5xy}\right)\cdot\frac{25y^{2}-x^{2}}{5y^{2}} \]

1. Раскладываем знаменатели:

\[ x^{2}-5xy=x(x-5y),\qquad x^{2}+5xy=x(x+5y) \]

2. Скобка:

\[ \frac{x+5y}{x(x-5y)}-\frac{x-5y}{x(x+5y)} =\frac{(x+5y)^{2}-(x-5y)^{2}}{x(x-5y)(x+5y)} =\frac{20xy}{x(x^{2}-25y^{2})} =\frac{20y}{x^{2}-25y^{2}} \]

3. Замечаем, что \(25y^{2}-x^{2}=-(x^{2}-25y^{2})\), и умножаем:

\[ \frac{20y}{x^{2}-25y^{2}}\cdot\frac{-(x^{2}-25y^{2})}{5y^{2}} =\frac{-20y}{5y^{2}} =-\frac{4}{y} \]

Ответ: \(\boxed{-\dfrac{4}{y}}\) при \(x\neq 0,\ y\neq 0,\ x\neq \pm 5y\).

Давай медленно и простыми словами. Такие примеры всегда решаются по одному плану: сначала скобки, потом умножение/деление.

Возьмём последний пример. Внутри скобок две дроби — их надо свести к одному знаменателю, как \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3+2}{6}\).

Шаг 1. Разложили знаменатели. \(x^2-5xy = x(x-5y)\), а \(x^2+5xy = x(x+5y)\). Это как вынести общий множитель — просто стало видно, из чего состоит знаменатель.

Шаг 2. Свели к общему знаменателю. Общий знаменатель — \(x(x-5y)(x+5y)\). Числитель получается: \[ (x+5y)^2-(x-5y)^2. \] Это формула «разность квадратов»: \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\). Здесь \(A=x+5y\), \(B=x-5y\): \[ (A-B)(A+B)=(10y)(2x)=20xy. \] Значит, скобка равна \(\frac{20xy}{x(x^2-25y^2)}=\frac{20y}{x^2-25y^2}\) — одно \(x\) сократилось.

Шаг 3. Умножение и сокращение. Вторая дробь — \(\frac{25y^2-x^2}{5y^2}\), а \(25y^2-x^2=-(x^2-25y^2)\), то есть числитель — «зеркальный» к знаменателю первой дроби. Поэтому они сокращаются, остаётся минус: \[ \frac{20y}{x^2-25y^2}\cdot\frac{-(x^2-25y^2)}{5y^2}=\frac{-20y}{5y^2}=-\frac{4}{y}. \]

Идея, которую стоит запомнить: почти всё в таких примерах держится на двух вещах — вынести общий множитель и увидеть разность квадратов. После этого всегда что-то сокращается.

На каком именно шаге пока непонятно — разложение на множители, приведение к общему знаменателю или сокращение? Подскажу именно там.

Уточни, что именно «почему» — вариантов несколько:

1. почему \(25y^2-x^2=-(x^2-25y^2)\) и откуда минус в ответе;
2. почему сократилось \(x\) в скобке;
3. почему вообще деление заменили умножением.

Напиши номер — объясню только этот момент, коротко.

Если в знаменателе плюс, то и в скобке плюс — знак просто повторяется:

\[ x^{2}-5xy=x(x-5y), \qquad x^{2}+5xy=x(x+5y) \]

Общий множитель здесь \(x\), он выносится всегда. А выражение в скобках — это то, что осталось от каждого слагаемого после деления на \(x\):

\[ \frac{x^{2}}{x}=x,\qquad \frac{5xy}{x}=5y \]

Поэтому:

• было \(x^2-5xy\) → стало \(x(x-5y)\);
• было \(x^2+5xy\) → стало \(x(x+5y)\).

То есть минус или плюс перед \(5xy\) никуда не исчезает, а переходит в скобку.