1. Для чисел –2, –1, 1, 2, 5 вычислите среднее значение. Заполните таблицу и вычислите дисперсию.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Для чисел –2, –1, 1, 2, 5 вычислите среднее значение. Заполните таблицу и вычислите дисперсию.
Число набора Отклонение от среднего Квадрат отклонения -2 ___ ___ -1 ___ ___ 1 ___ ___ 2 ___ ___ 5 ___ ___
Как изменится дисперсия набора 4; 6; 8; 140, если удалить число 140?
Часы испытывают на точность с помощью специального теста, в ходе которого определяется ошибка измерения времени (в секундах на протяжении суток) при разной температуре, влажности и в разных положениях механизма. Часы получают сертификат точности, если размах ошибки меньше 5,5 секунды за сутки, а дисперсия меньше 3. Если средняя ошибка превышает 2 секунды, то часы нуждаются в регулировке. В таблице даны результаты пяти испытаний одного часового механизма.
Номер испытания 1 2 3 4 5 Ошибка, с -0,4 -0,9 1,6 4,1 3,6 Найдите среднюю ошибку, размах и дисперсию ошибки. Получат ли эти часы сертификат точности, или они нуждаются в регулировке?
Краткий ответ
- Среднее значение \(=1\), дисперсия \(=6\).
- Дисперсия сильно уменьшится: была \(3368{,}75\), станет \(\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\); уменьшение примерно на \(3366{,}08\).
- Средняя ошибка \(1{,}6\) с, размах \(5{,}0\) с, дисперсия \(4{,}1\). Сертификат не получат, потому что \(4{,}1>3\). По средней ошибке регулировка не требуется: \(1{,}6<2\).
Как считать
\[ \bar x=\frac{x_1+\dots+x_n}{n},\qquad D=\frac{(x_1-\bar x)^2+\dots+(x_n-\bar x)^2}{n}. \]
Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего.
1. Таблица и дисперсия
\[ \bar x=\frac{-2-1+1+2+5}{5}=\frac{5}{5}=1. \]
| Число набора | Отклонение от среднего | Квадрат отклонения |
|---|---|---|
| \(-2\) | \(-3\) | \(9\) |
| \(-1\) | \(-2\) | \(4\) |
| \(1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(2\) | \(1\) | \(1\) |
| \(5\) | \(4\) | \(16\) |
Сумма квадратов отклонений:
\[ 9+4+0+1+16=30. \]
\[ D=\frac{30}{5}=6. \]
Проверка: сумма отклонений равна \(0\).
2. Удаление числа 140
До удаления:
\[ \bar x_{\text{до}}=\frac{4+6+8+140}{4}=39{,}5. \]
\[ D_{\text{до}}= \frac{(-35{,}5)^2+(-33{,}5)^2+(-31{,}5)^2+100{,}5^2}{4} =3368{,}75. \]
После удаления \(140\) остаются числа \(4,6,8\):
\[ \bar x_{\text{после}}=\frac{4+6+8}{3}=6, \]
\[ D_{\text{после}}=\frac{(-2)^2+0^2+2^2}{3}=\frac{8}{3}\approx2{,}67. \]
Значит, дисперсия уменьшится на
\[ 3368{,}75-\frac{8}{3}=3366\frac{1}{12}\approx3366{,}08. \]
Причина: \(140\) — сильный выброс, он сильно увеличивает и среднее, и квадраты отклонений.
3. Проверка часов
Средняя ошибка:
\[ \bar x=\frac{-0{,}4-0{,}9+1{,}6+4{,}1+3{,}6}{5}=1{,}6. \]
Размах:
\[ R=4{,}1-(-0{,}9)=5{,}0. \]
Дисперсия:
\[ D= \frac{(-2)^2+(-2{,}5)^2+0^2+2{,}5^2+2^2}{5} =\frac{20{,}5}{5}=4{,}1. \]
Сравниваем с условиями:
- размах \(5{,}0<5{,}5\) — по этому пункту проходит;
- дисперсия \(4{,}1<3\) — неверно, значит сертификат не дают;
- средняя ошибка \(1{,}6\) не больше \(2\), значит по указанному правилу регулировка не требуется.
Вывод: часы не получат сертификат точности из-за слишком большой дисперсии, но по средней ошибке они не нуждаются в регулировке.
