Реши задание на изображении

На фото — упражнения № 215–220 (номер верхнего срезан, но сами примеры видны). Решил все.

Ответы

№ 215 (верхнее)

1. \(-x\cdot x^2 = -x^3\)
2. \((-x)^2\cdot x = x^3\)
3. \(-x\cdot(-x)^2 = -x^3\)
4. \((-x)\cdot(-x)^2\cdot(-x) = x^4\)

№ 216

1. \((-a)^2\cdot a^3 = a^5\)
2. \(-a^2\cdot a^3 = -a^5\)
3. \(a^2\cdot(-a)^3 = -a^5\)

№ 217

1. \((-a^5)^2 = a^{10}\)
2. \((-a^3)^3 = -a^9\)
3. \((-a^4)^7\cdot(-a^2)^6 = -a^{40}\)

№ 218

1. \(((-a^6)^5)^9 = -a^{270}\)
2. \(((-a^{11})^2)^3 = a^{66}\)

№ 219

1. \(a^3b^3 = (ab)^3\)
2. \(-m^7 = (-m)^7\) (если в книге \(-m^9\), то \((-m^3)^3\))
3. \(9m^2n^2 = (3mn)^2\)
4. \(64x^3y^3 = (4xy)^3\)
5. \(-\frac{27}{343}c^3d^3 = \left(-\frac{3}{7}cd\right)^3\)
6. \(0{,}0001k^4p^4 = (0{,}1kp)^4\)

№ 220

1. \(x^{12}y^{12} = (xy)^{12}\)
2. \(-125m^3n^3 = (-5mn)^3\)
3. \(32p^5q^5 = (2pq)^5\)
4. \(1\,000\,000\,000a^9b^9c^9 = (10abc)^9\)

Какие правила работают

1. Умножение степеней с одним основанием: \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\) — показатели складываются (№ 215, 216).
2. Степень степени: \((a^m)^n = a^{mn}\) — показатели перемножаются (№ 217, 218).
3. Знак минуса: \((-a)^{2k} = a^{2k}\), а \((-a)^{2k+1} = -a^{2k+1}\). Проще считать «минусы»: их чётное число — результат положительный, нечётное — отрицательный.
4. Степень произведения: \(a^n b^n = (ab)^n\). В № 219–220 мы «упаковываем» множители в скобки, подбирая такое число, которое в нужной степени даёт коэффициент.

Разбор по шагам

215(4): \((-x)\cdot(-x)^2\cdot(-x)\). Так как \((-x)^2 = x^2\), получаем \((-x)\cdot x^2\cdot(-x) = x^{1+2+1} = x^4\). Минусов два (чётное число) — итог положительный.

217(3): \((-a^4)^7 = -a^{28}\), потому что 7 нечётное, минус сохраняется. \((-a^2)^6 = a^{12}\), потому что 6 чётное. Тогда \(-a^{28}\cdot a^{12} = -a^{40}\).

218(1): идём изнутри: \((-a^6)^5 = -a^{30}\), затем \((-a^{30})^9 = -a^{270}\) — оба показателя нечётные, минус остаётся. 218(2): \((-a^{11})^2 = a^{22}\) (чётная степень «съела» минус), дальше \((a^{22})^3 = a^{66}\).

219(5): \(343 = 7^3\), \(27 = 3^3\), значит \(\left(\frac{3}{7}\right)^3 = \frac{27}{343}\). Минус спереди получается, если в скобке стоит \(-\frac{3}{7}\).

220(4): \(10^9 = 1\,000\,000\,000\), поэтому \(1\,000\,000\,000a^9b^9c^9 = (10abc)^9\).

Проверка

• \((-a^5)^2 = (-1)^2\cdot a^{10} = a^{10}\) ✓
• \((2pq)^5 = 2^5p^5q^5 = 32p^5q^5\) ✓
• \((0{,}1kp)^4 = 0{,}0001k^4p^4\) ✓

В № 218 первый пример читаю как \(((-a^6)^5)^9\) — если у тебя показатель другой, порядок действий тот же: сначала внутренние скобки, потом внешние.