170. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 585 и 360; б) 680 и 612; в) 60, 80 и 48; г) 195, 156 и 260. 157. Разложите на простые множители числа:

Кратко

№ 170. а) \(45\); б) \(68\); в) \(4\); г) \(13\).

№ 157. а) \(875=5^3\cdot7\), \(2376=2^3\cdot3^3\cdot11\), \(5625=3^2\cdot5^4\); б) \(2025=3^4\cdot5^2\), \(3969=3^4\cdot7^2\), \(13\,125=3\cdot5^4\cdot7\).

№ 170. Как решать

НОД — наибольшее число, на которое все данные числа делятся без остатка. Для двух чисел удобен алгоритм Евклида: делим большее число на меньшее с остатком, затем заменяем пару на «делитель и остаток». Последний ненулевой остаток — это НОД. Для трёх чисел: \[ \gcd(a,b,c)=\gcd(\gcd(a,b),c). \]

а)
\[ 585=360\cdot1+225,\quad 360=225\cdot1+135,\quad 225=135\cdot1+90, \] \[ 135=90\cdot1+45,\quad 90=45\cdot2+0. \] Последний ненулевой остаток равен \(45\), значит: \[ \gcd(585,360)=45. \]

б)
\[ 680=612\cdot1+68,\quad 612=68\cdot9+0. \] Поэтому: \[ \gcd(680,612)=68. \]

в) Сначала: \[ 80=60\cdot1+20,\quad 60=20\cdot3, \] значит, \(\gcd(60,80)=20\). Теперь с числом \(48\): \[ 48=20\cdot2+8,\quad 20=8\cdot2+4,\quad 8=4\cdot2+0. \] Следовательно: \[ \gcd(60,80,48)=4. \]

г) Сначала: \[ 195=156\cdot1+39,\quad 156=39\cdot4, \] значит, \(\gcd(195,156)=39\). Теперь: \[ 260=39\cdot6+26,\quad 39=26\cdot1+13,\quad 26=13\cdot2+0. \] Следовательно: \[ \gcd(195,156,260)=13. \]

№ 157. Как решать

Раскладываем число последовательно на простые множители: делим на \(2,3,5,7,\ldots\), пока не получим \(1\). Одинаковые множители записываем степенью.

• \(875\to175\to35\to7\to1\): множители \(5,5,5,7\), значит, \[ 875=5^3\cdot7. \]

• \(2376\to1188\to594\to297\to99\to33\to11\to1\): множители \(2,2,2,3,3,3,11\), значит, \[ 2376=2^3\cdot3^3\cdot11. \]

• \(5625\to1875\to625\to125\to25\to5\to1\): множители \(3,3,5,5,5,5\), значит, \[ 5625=3^2\cdot5^4. \]

• \(2025\to675\to225\to75\to25\to5\to1\): множители \(3,3,3,3,5,5\), значит, \[ 2025=3^4\cdot5^2. \]

• \(3969\to1323\to441\to147\to49\to7\to1\): множители \(3,3,3,3,7,7\), значит, \[ 3969=3^4\cdot7^2. \]

• \(13\,125\to4375\to875\to175\to35\to7\to1\): множители \(3,5,5,5,5,7\), значит, \[ 13\,125=3\cdot5^4\cdot7. \]

Проверка умножением: \[ 5^3\cdot7=875,\quad 2^3\cdot3^3\cdot11=2376,\quad 3^2\cdot5^4=5625, \] \[ 3^4\cdot5^2=2025,\quad 3^4\cdot7^2=3969,\quad 3\cdot5^4\cdot7=13\,125. \]