1050 На окружности, заданной уравнением (x - 3)² + (y - 5)² = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.

На фото читаются номера 1050, 1051 и 1053. Номер 1052 полностью закрыт маркером, поэтому его не восстанавливаю.

Краткие ответы

1050.
а) точки с абсциссой \(3\): \((3;0)\) и \((3;10)\);
б) точки с ординатой \(5\): \((-2;5)\) и \((8;5)\).

1051.
\[ x^2+y^2=9,\qquad x^2+y^2=2,\qquad x^2+y^2=\frac{25}{4}. \]

1053.
\[ x^2+y^2=10. \]

Как решать

Общий вид уравнения окружности с центром \((x_0;y_0)\) и радиусом \(R\):

\[ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2. \]

1050

Дана окружность

\[ (x-3)^2+(y-5)^2=25. \]

Её центр — \((3;5)\), радиус — \(5\).

а) Абсцисса точки равна \(3\), значит \(x=3\). Подставляем:

\[ (3-3)^2+(y-5)^2=25, \]

\[ (y-5)^2=25. \]

Отсюда

\[ y-5=\pm 5, \]

поэтому \(y=0\) или \(y=10\). Получаем точки \((3;0)\) и \((3;10)\).

б) Ордината равна \(5\), значит \(y=5\). Подставляем:

\[ (x-3)^2+(5-5)^2=25, \]

\[ (x-3)^2=25. \]

Отсюда \(x-3=\pm5\), поэтому \(x=-2\) или \(x=8\). Получаем точки \((-2;5)\) и \((8;5)\).

1051

Если центр окружности находится в начале координат, уравнение имеет вид

\[ x^2+y^2=R^2. \]

Поэтому:

• при \(R=3\): \(x^2+y^2=3^2=9\);
• при \(R=\sqrt2\): \(x^2+y^2=(\sqrt2)^2=2\);
• при \(R=\frac52\): \[ x^2+y^2=\left(\frac52\right)^2=\frac{25}{4}. \]

1053

Радиус — это расстояние от начала координат до точки \(B(-1;3)\):

\[ R=OB=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}. \]

Значит, \(R^2=10\), и уравнение окружности:

\[ x^2+y^2=10. \]

Проверка: точка \((8;5)\) действительно лежит на окружности 1050: \[ (8-3)^2+(5-5)^2=25. \] А для 1053: \[ (-1)^2+3^2=10. \]