Через теоремы Менелая пункт а
Сверь числа и знаки с фото.
№1 На сторонах \(AB\), \(BC\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(C_{1}\), \(A_{1}\) и \(B_{1}\) соответственно, причем \(AC_{1} : C_{1}B = 8 : 3\), \(BA_{1} : A_{1}C = 1 : 2\), \(CB_{1} : B_{1}A = 3 : 1\). Отрезки \(BB_{1}\) и \(CC_{1}\) пересекаются в точке \(D\). а) Докажите, что \(ADA_{1}B_{1}\) — параллелограмм.
Кратко. По теореме Менелая для \(\triangle ABB_1\) и секущей \(C_1DC\) получаем \(BD:DB_1=1:2\). Но \(BA_1:A_1C=1:2\), поэтому в \(\triangle BCB_1\) по обратной теореме Фалеса \(DA_1\parallel CB_1\). Значит, \(DA_1\parallel AB_1\). Из подобия треугольников \(DA_1=\frac13 CB_1=AB_1\). Следовательно, \(ADA_1B_1\) — параллелограмм.
Подробное доказательство
Рассмотрим \(\triangle ABB_1\). Точки \(C_1,D,C\) лежат на одной прямой, причём:
- \(C_1\in AB\),
- \(D\in BB_1\),
- \(C\) лежит на продолжении \(AB_1\).
По теореме Менелая: \[ \frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BD}{DB_1}\cdot\frac{CB_1}{CA}=1. \]
Подставим данные: \[ \frac{AC_1}{C_1B}=\frac83,\qquad \frac{CB_1}{CA}=\frac34. \] Тогда \[ \frac83\cdot\frac{BD}{DB_1}\cdot\frac34=1 \quad\Rightarrow\quad 2\cdot\frac{BD}{DB_1}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{BD}{DB_1}=\frac12. \]
В \(\triangle BCB_1\) точки \(D\) и \(A_1\) делят стороны \(BB_1\) и \(BC\) в одинаковом отношении: \[ \frac{BD}{DB_1}=\frac{BA_1}{A_1C}=\frac12. \] По обратной теореме Фалеса: \[ DA_1\parallel CB_1. \] Так как \(A,B_1,C\) лежат на одной прямой, это означает \[ DA_1\parallel AB_1. \]
Из параллельности \(DA_1\parallel CB_1\) следует подобие: \[ \triangle BDA_1\sim \triangle BB_1C. \] Поэтому \[ \frac{DA_1}{CB_1}=\frac{BD}{BB_1}. \] Но \(BD:DB_1=1:2\), значит, \(BD:BB_1=1:3\). Тогда \[ DA_1=\frac13 CB_1. \] По условию \(CB_1:B_1A=3:1\), то есть \(CB_1=3AB_1\). Следовательно, \[ DA_1=\frac13\cdot 3AB_1=AB_1. \]
В четырёхугольнике \(ADA_1B_1\) противоположные стороны \(DA_1\) и \(AB_1\) параллельны и равны. По признаку параллелограмма это означает, что \(ADA_1B_1\) — параллелограмм.
