Формула Герона Задача 1: Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 11 см, 25 см и 30 см.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Формула Герона Задача 1: Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 11 см, 25 см и 30 см. Задача 2: Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 4 см, 13 см и 15 см. Задача 3: Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 13 см, 14 см и 15 см. Задача 4: Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 17 см, 65 см и 80 см. Задача 5: Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 26 см, 28 см и 30 см. Задача 6: Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 29 см, 25 см и 36 см. Задача 7: Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 45 см, 39 см и 42 см.
Кратко: во всех семи задачах площади получились целыми.
| № | Стороны, см | Полупериметр \(p\), см | Площадь \(S\), см² |
|---|---|---|---|
| 1 | 11, 25, 30 | 33 | 132 |
| 2 | 4, 13, 15 | 16 | 24 |
| 3 | 13, 14, 15 | 21 | 84 |
| 4 | 17, 65, 80 | 81 | 288 |
| 5 | 26, 28, 30 | 42 | 336 |
| 6 | 29, 25, 36 | 45 | 360 |
| 7 | 45, 39, 42 | 63 | 756 |
Принцип решения
Формула Герона: \[ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\qquad p=\frac{a+b+c}{2}. \] Здесь \(p\) — полупериметр, то есть половина периметра.
Порядок действий:
- Найти \(p\).
- Вычислить разности \(p-a\), \(p-b\), \(p-c\). Они должны быть положительными — это проверка того, что треугольник существует.
- Перемножить четыре числа и извлечь корень.
- Записать ответ в см².
Разбор задачи 3
Стороны \(13\), \(14\), \(15\) см. \[ p=\frac{13+14+15}{2}=21. \] Тогда \[ S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} =\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}. \] Раскладываем на множители: \[ 21\cdot 8\cdot 7\cdot 6=(3\cdot7)\cdot 2^3\cdot 7\cdot(2\cdot3) =2^4\cdot 3^2\cdot 7^2=(4\cdot3\cdot7)^2=84^2. \] Значит, \[ S=84\ \text{см}^2. \]
Как быстро извлекать корень
Полезно раскладывать подкоренное произведение на простые множители — тогда корень извлекается почти устно. Например, в задаче 7: \[ 63\cdot18\cdot24\cdot21 =(3^2\cdot7)(2\cdot3^2)(2^3\cdot3)(3\cdot7) =2^4\cdot3^6\cdot7^2, \] поэтому \[ S=2^2\cdot3^3\cdot7=4\cdot27\cdot7=756\ \text{см}^2. \]
Проверка
Для задачи 3: \(84^2=7056\), и \(21\cdot8\cdot7\cdot6=7056\) — совпадает. Для задачи 7: \(756^2=571536\), и \(63\cdot18\cdot24\cdot21=571536\) — тоже совпадает.
Во всех задачах полупериметр больше каждой стороны, поэтому треугольники с такими сторонами действительно существуют.
Обсуждение
2 сообщенияРешение всех задач
Ниже — полное решение каждой из семи задач с проверкой.
Общая формула Герона: \[ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\qquad p=\frac{a+b+c}{2}. \]
Задача 1. Стороны \(11\), \(25\), \(30\) см
\[ p=\frac{11+25+30}{2}=33. \] \[ p-a=22,\qquad p-b=8,\qquad p-c=3. \] \[ S=\sqrt{33\cdot22\cdot8\cdot3}. \] Раскладываем: \[ 33\cdot22\cdot8\cdot3=(3\cdot11)(2\cdot11)\cdot2^3\cdot3=2^4\cdot3^2\cdot11^2=(4\cdot3\cdot11)^2=132^2. \] \[ \boxed{S=132\ \text{см}^2} \]
Задача 2. Стороны \(4\), \(13\), \(15\) см
\[ p=\frac{4+13+15}{2}=16. \] \[ p-a=12,\qquad p-b=3,\qquad p-c=1. \] \[ S=\sqrt{16\cdot12\cdot3\cdot1}=2^4\cdot(2^2\cdot3)\cdot3=2^6\cdot3^2=(2^3\cdot3)^2=24^2. \] \[ \boxed{S=24\ \text{см}^2} \]
Задача 3. Стороны \(13\), \(14\), \(15\) см
\[ p=\frac{13+14+15}{2}=21. \] \[ p-a=8,\qquad p-b=7,\qquad p-c=6. \] \[ S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=(3\cdot7)\cdot2^3\cdot7\cdot(2\cdot3)=2^4\cdot3^2\cdot7^2=84^2. \] \[ \boxed{S=84\ \text{см}^2} \]
Задача 4. Стороны \(17\), \(65\), \(80\) см
\[ p=\frac{17+65+80}{2}=81. \] \[ p-a=64,\qquad p-b=16,\qquad p-c=1. \] \[ S=\sqrt{81\cdot64\cdot16\cdot1}=3^4\cdot2^6\cdot2^4=3^4\cdot2^{10}=(3^2\cdot2^5)^2=(9\cdot32)^2=288^2. \] \[ \boxed{S=288\ \text{см}^2} \]
Задача 5. Стороны \(26\), \(28\), \(30\) см
\[ p=\frac{26+28+30}{2}=42. \] \[ p-a=16,\qquad p-b=14,\qquad p-c=12. \] \[ S=\sqrt{42\cdot16\cdot14\cdot12}=(2\cdot3\cdot7)\cdot2^4\cdot(2\cdot7)\cdot(2^2\cdot3)=2^8\cdot3^2\cdot7^2=(2^4\cdot3\cdot7)^2=336^2. \] \[ \boxed{S=336\ \text{см}^2} \]
Задача 6. Стороны \(29\), \(25\), \(36\) см
\[ p=\frac{29+25+36}{2}=45. \] \[ p-a=16,\qquad p-b=20,\qquad p-c=9. \] \[ S=\sqrt{45\cdot16\cdot20\cdot9}=(3^2\cdot5)\cdot2^4\cdot(2^2\cdot5)\cdot3^2=2^6\cdot3^4\cdot5^2=(2^3\cdot3^2\cdot5)^2=360^2. \] \[ \boxed{S=360\ \text{см}^2} \]
Задача 7. Стороны \(45\), \(39\), \(42\) см
\[ p=\frac{45+39+42}{2}=63. \] \[ p-a=18,\qquad p-b=24,\qquad p-c=21. \] \[ S=\sqrt{63\cdot18\cdot24\cdot21}=(3^2\cdot7)\cdot(2\cdot3^2)\cdot(2^3\cdot3)\cdot(3\cdot7)=2^4\cdot3^6\cdot7^2. \] \[ S=2^2\cdot3^3\cdot7=4\cdot27\cdot7=756. \] \[ \boxed{S=756\ \text{см}^2} \]
Проверка существования треугольников
Во всех задачах полупериметр больше каждой из сторон, значит, все три разности положительны и треугольники с такими сторонами существуют. Проверка корней: \(132^2=17424\), \(24^2=576\), \(84^2=7056\), \(288^2=82944\), \(336^2=112896\), \(360^2=129600\), \(756^2=571536\) — все совпадают с подкоренными произведениями.
Итоговые ответы: 132; 24; 84; 288; 336; 360; 756 см².
