546564456645465564465564465645654645456•545455456564645645545545455545

Краткий ответ:

\[ 546564456645465564465564465645654645456 \times 545455456564645645545545455545 = \] \[ = 298\,126\,565\,241\,559\,890\,252\,691\,057\,364\,450\,530\,974\,268\,747\,542\,972\,605\,225\,038\,984\,253\,520 \]

Пробелы в числе поставлены только для удобства чтения. Без них:

298126565241559890252691057364450530974268747542972605225038984253520

Как это считается

Большие числа перемножаются по тому же принципу, что и маленькие: по разрядам. Чтобы не запутаться, удобно разбить числа на блоки по 3 цифры:

\[ a=546\,564\,456\,645\,465\,564\,465\,564\,465\,645\,654\,645\,456 \]

\[ b=545\,455\,456\,564\,645\,645\,545\,545\,455\,545 \]

Каждый блок — как «цифра» в системе с основанием \(1000\). Если \(a_i\) и \(b_j\) — блоки, считая с конца, то коэффициент при \(1000^k\) равен

\[ c_k=\sum_{i+j=k} a_i b_j. \]

Дальше действуем как при обычном умножении столбиком: если \(c_k\ge 1000\), оставляем остаток от деления на \(1000\), а целую часть переносим в следующий блок.

Например, младшие блоки:

\[ 456\cdot 545=248\,520. \]

Значит, в конце пишем \(520\), а \(248\) переносим дальше. Следующий коэффициент:

\[ 456\cdot 455+645\cdot 545=207\,480+351\,525=559\,005. \]

Прибавляем перенос \(248\):

\[ 559\,005+248=559\,253. \]

То есть следующий блок результата — \(253\), а перенос — \(559\). Так проходим все блоки и собираем ответ.

Проверка

• Последние три цифры: \(456\cdot 545=248\,520\), значит ответ должен оканчиваться на \(520\). В полученном числе так и есть.
• Оценка порядка: \(a\approx5{,}47\cdot10^{38}\), \(b\approx5{,}45\cdot10^{29}\), поэтому произведение примерно \(2{,}98\cdot10^{68}\), то есть содержит 69 цифр. В ответе 69 цифр.