как это решать
Сверь числа и знаки с фото.
Решите уравнение:
- 4x² + 7x = 0
- 4x − 3x² = 0
- 10x² − 3x = 0
- 5a² − a = 0
- 3y + y² = 0
Короткий ответ — корни:
- \(x=0\) или \(x=-\dfrac{7}{4}\)
- \(x=0\) или \(x=\dfrac{4}{3}\)
- \(x=0\) или \(x=\dfrac{3}{10}\)
- \(a=0\) или \(a=\dfrac{1}{5}\)
- \(y=0\) или \(y=-3\)
Как решать. Это неполные квадратные уравнения вида \(ax^2+bx=0\). У них есть общий множитель — переменная. Выносим её за скобки:
\[ ax^2+bx=x(ax+b). \]
Затем используем главное правило: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Значит, по очереди приравниваем к нулю каждый множитель.
1) \(4x^2+7x=0\)
\[ x(4x+7)=0 \]
Значит:
\[ x=0 \quad \text{или} \quad 4x+7=0. \]
Из второго уравнения:
\[ 4x=-7,\qquad x=-\frac{7}{4}. \]
2) \(4x-3x^2=0\)
\[ x(4-3x)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{или} \quad 4-3x=0. \]
\[ 3x=4,\qquad x=\frac{4}{3}. \]
3) \(10x^2-3x=0\)
\[ x(10x-3)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{или} \quad 10x-3=0. \]
\[ 10x=3,\qquad x=\frac{3}{10}. \]
4) \(5a^2-a=0\)
\[ a(5a-1)=0 \]
\[ a=0 \quad \text{или} \quad 5a-1=0. \]
\[ 5a=1,\qquad a=\frac{1}{5}. \]
5) \(3y+y^2=0\)
\[ y(3+y)=0 \]
\[ y=0 \quad \text{или} \quad 3+y=0. \]
\[ y=-3. \]
Важно: нельзя просто делить уравнение на \(x\), потому что \(x=0\) тоже является корнем. Именно поэтому выносим общий множитель, а не сокращаем.
Проверка, например, для первого уравнения: при \(x=-\frac{7}{4}\)
\[ 4\cdot\frac{49}{16}+7\cdot\left(-\frac{7}{4}\right) =\frac{49}{4}-\frac{49}{4}=0. \]
Корень подходит. Остальные проверяются так же подстановкой.
Обсуждение
2 сообщенияКак решать квадратные уровнения
Коротко: любое квадратное уравнение приводим к виду \(ax^2+bx+c=0\) (где \(a\neq 0\)), считаем дискриминант \(D=b^2-4ac\), а дальше корни находим по формуле
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]
1. Сначала приведи уравнение к стандартному виду. Всё переносим в левую часть, раскрываем скобки, приводим подобные. Например, \(3x^2=5x-2\) превращается в \(3x^2-5x+2=0\).
2. Выпиши коэффициенты. В \(ax^2+bx+c=0\) это \(a\), \(b\), \(c\) вместе со знаками. В примере выше: \(a=3\), \(b=-5\), \(c=2\).
3. Посчитай дискриминант:
\[ D=b^2-4ac. \]
От его знака зависит число корней:
- \(D>0\) — два разных корня;
- \(D=0\) — один корень (он же двойной);
- \(D<0\) — действительных корней нет.
Пример 1 (два корня). \(3x^2-5x+2=0\)
\[ D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1>0. \]
\[ x_1=\frac{5+1}{6}=1,\qquad x_2=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}. \]
Проверка по Виету: \(x_1+x_2=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}=\frac{-b}{a}\), \(x_1x_2=\frac{2}{3}=\frac{c}{a}\). Верно.
Пример 2 (один корень). \(x^2-6x+9=0\)
\[ D=36-36=0,\qquad x=\frac{6}{2}=3. \]
Это \((x-3)^2=0\), поэтому корень ровно один.
Пример 3 (корней нет). \(x^2+x+1=0\)
\[ D=1-4=-3<0, \]
действительных корней нет.
4. Неполные уравнения решай быстрее, без дискриминанта.
- \(ax^2+bx=0\) — выносим \(x\): \(x(ax+b)=0\), корни \(x=0\) и \(x=-\frac{b}{a}\). Так мы решали в прошлом задании.
- \(ax^2+c=0\) — переносим: \(x^2=-\frac{c}{a}\). Если правая часть отрицательна, корней нет.
- \(ax^2=0\) — единственный корень \(x=0\).
5. Теорема Виета — удобная проверка. Если уравнение приведённое, то есть \(x^2+px+q=0\), то
\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \]
Поэтому полезно после решения проверить сумму и произведение корней — так сразу видно ошибку в счёте.
Памятка-алгоритм: привести к стандартному виду → выписать \(a,b,c\) → найти \(D\) → по знаку \(D\) определить число корней → подставить в формулу → проверить по Виету или подстановкой.
Если хочешь, пришли своё уравнение — решим его по шагам вместе.
