реши только 481 а,б

Краткий ответ: а) \(\frac{1}{16}\); б) \(\frac{1}{2}=0{,}5\).

Общая идея

Основания \(4\), \(6\), \(9\) — составные, но каждое «собрано» из простых чисел \(2\) и \(3\): \[ 4=2^2,\qquad 6=2\cdot 3,\qquad 9=3^2 . \] Поэтому в подобных примерах сначала переходят к основаниям \(2\) и \(3\), а потом применяют три правила: \[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \] Если показатель получился отрицательным, то \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\).

а) \(\dfrac{4^3\cdot 3^{10}}{6^{10}}\)

\[ \frac{4^3\cdot 3^{10}}{6^{10}} =\frac{(2^2)^3\cdot 3^{10}}{(2\cdot 3)^{10}} =\frac{2^6\cdot 3^{10}}{2^{10}\cdot 3^{10}} =2^{6-10}\cdot 3^{10-10} =2^{-4} =\frac{1}{16}. \]

Что произошло по шагам: \(4^3=(2^2)^3=2^{6}\); \(6^{10}\) раскрыли по правилу степени произведения: \(2^{10}\cdot 3^{10}\). Тройки в числителе и знаменателе одинаковые, при делении показатели вычитаются: \(3^{10-10}=3^0=1\). Осталось \(\frac{2^6}{2^{10}}=2^{-4}\).

Проверка другим путём: \(\frac{3^{10}}{6^{10}}=\left(\frac{3}{6}\right)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\), тогда \(\frac{4^3}{2^{10}}=\frac{2^6}{2^{10}}=\frac{1}{16}\). Совпало; численно \(\frac{1}{16}=0{,}0625\).

б) \(\dfrac{2^6\cdot 6^{18}}{2^{25}\cdot 9^9}\)

\[ \frac{2^6\cdot 6^{18}}{2^{25}\cdot 9^9} =\frac{2^6\cdot (2\cdot 3)^{18}}{2^{25}\cdot (3^2)^9} =\frac{2^{6+18}\cdot 3^{18}}{2^{25}\cdot 3^{18}} =2^{24-25}\cdot 3^{18-18} =2^{-1} =\frac{1}{2}. \]

Проверка более коротким путём: сначала упростить \(\frac{6^{18}}{9^9}=\frac{(2\cdot3)^{18}}{3^{18}}=2^{18}\), затем \(\frac{2^6\cdot 2^{18}}{2^{25}}=\frac{2^{24}}{2^{25}}=\frac{1}{2}\). Ответ тот же; численно \(0{,}5\). Я проверил оба примера двумя способами — значения сходятся.

Как действовать в похожем задании

1. Разложить каждое основание на простые множители (\(4=2^2\), \(6=2\cdot3\), \(9=3^2\), \(8=2^3\), \(12=2^2\cdot3\) и т. п.).
2. Раскрыть скобки степеней: \((2^2)^3=2^{6}\), \((2\cdot3)^{10}=2^{10}3^{10}\).
3. При умножении показатели сложить, при делении — вычесть (внимание: именно «верхний минус нижний», а не наоборот).
4. Если показатель стал отрицательным — «перевернуть»: \(2^{-4}=\frac{1}{2^4}\).