1) x² + 7x + 12; 2) x² − x − 12; 3) x² + 2x − 15; 4) 2x² + 7x + 3; 5) 3x² − 10x + 8

На листе нужно разложить каждый квадратный трёхчлен на множители.

Краткий ответ

1. \(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\)
2. \(x^2-x-12=(x-4)(x+3)\)
3. \(x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\)
4. \(2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)\)
5. \(3x^2-10x+8=(x-2)(3x-4)\)

Как рассуждать

Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни квадратного трёхчлена, то

\[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2). \]

Для приведённого трёхчлена \(x^2+bx+c\) корни удобно искать по теореме Виета:

\[ x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c. \]

Если коэффициент \(a\ne1\), сначала находим корни через дискриминант:

\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]

Решения по пунктам

1. \(x^2+7x+12\)
   Сумма корней: \(-7\), произведение: \(12\).
   Корни: \(-3\) и \(-4\).
   Значит, \(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\).

2. \(x^2-x-12\)
   Сумма корней: \(1\), произведение: \(-12\).
   Корни: \(4\) и \(-3\).
   Значит, \(x^2-x-12=(x-4)(x+3)\).

3. \(x^2+2x-15\)
   Сумма корней: \(-2\), произведение: \(-15\).
   Корни: \(-5\) и \(3\).
   Значит, \(x^2+2x-15=(x+5)(x-3)\).

4. \(2x^2+7x+3\)
   \[ D=7^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25. \] \[ x_{1,2}=\frac{-7\pm5}{4}. \] Корни: \(-3\) и \(-\frac12\).
   Тогда \[ 2x^2+7x+3=2\left(x+\frac12\right)(x+3)=(2x+1)(x+3). \]

5. \(3x^2-10x+8\)
   \[ D=(-10)^2-4\cdot3\cdot8=100-96=4. \] \[ x_{1,2}=\frac{10\pm2}{6}. \] Корни: \(2\) и \(\frac43\).
   Тогда \[ 3x^2-10x+8=3(x-2)\left(x-\frac43\right)=(x-2)(3x-4). \]

Проверка

Раскрываю скобки:

1. \((x+3)(x+4)=x^2+7x+12\) — верно.
2. \((x-4)(x+3)=x^2-x-12\) — верно.
3. \((x+5)(x-3)=x^2+2x-15\) — верно.
4. \((2x+1)(x+3)=2x^2+7x+3\) — верно.
5. \((x-2)(3x-4)=3x^2-10x+8\) — верно.