реши задачу 427

Question

реши задачу 427

Расшифровка фото нейросетью:
427 Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Answer

Задача 427. Краткий ответ

Утверждение верно. Если $M$ — точка на основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ с боковыми сторонами $AB=BC$, а прямые через $M$, параллельные $BC$ и $AB$, пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $N$, то
$$
P_{KBNM}=KB+BN+NM+MK=AB+BC.
$$

Ключевые шаги

1. Докажем, что $AK=KM$. В $\triangle AKM$: $KM\parallel BC$, поэтому $\angle AKM=\angle ABC$ (соответственные углы). В равнобедренном $\triangle ABC$ углы при основании равны: $\angle A=\angle C$. Тогда
$$
\angle AMK=180^\circ-\angle A-\angle AKM
=180^\circ-\angle A-\angle ABC=\angle C=\angle A.
$$
Значит, в $\triangle AKM$ углы при вершинах $A$ и $M$ равны, поэтому $AK=KM$.

2. Аналогично $MN=NC$. В $\triangle MNC$: $MN\parallel AB$, поэтому $\angle MNC=\angle ABC$. Тогда
$$
\angle NMC=180^\circ-\angle C-\angle MNC
=180^\circ-\angle C-\angle ABC=\angle A=\angle C,
$$
значит $MN=NC$.

3. Считаем периметр:
$$
P_{KBNM}=KB+BN+NM+MK
=KB+BN+NC+AK
=(AK+KB)+(BN+NC)=AB+BC.
$$
Здесь $AK+KB=AB$ и $BN+NC=BC$, потому что $K$ лежит на $AB$, а $N$ — на $BC$.

Проверка

При $M$ — середине $AC$ точки $K$ и $N$ становятся серединами боковых сторон, и равенство $P=AB+BC$ снова выполняется. Значит, результат не зависит от положения $M$.