3. В случайном опыте N=30 равновозможных элементарных событий, из которых N(A)=3 благоприятствуют событию A.
Реши
Сверь числа и знаки с фото.
Классическое определение вероятности 3. В случайном опыте \(N=30\) равновозможных элементарных событий, из которых \(N(A)=3\) благоприятствуют событию \(A\). Найдите вероятность события \(A\). 4. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны равновозможные элементарные события опыта. [Рисунок: прямоугольник; пересекающиеся красный круг \(A\) слева и зелёный круг \(B\) справа; синие точки: 3 в части \(A\) вне \(B\), 3 в пересечении, 4 в части \(B\) вне \(A\), 1 вне обоих кругов.] а) Найдите вероятность события \(A\). б) Найдите вероятность события \(B\). в) Найдите вероятность события \(A \cap B\). г) Найдите вероятность события \(A \cup B\). 5. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. [Рисунок: прямоугольник; пересекающиеся круги \(A\) и \(B\); в областях указаны числа: 8 вне обоих кругов, 3 только в \(A\), 4 в пересечении, 5 только в \(B\).] а) Найдите вероятность события \(A\). б) Найдите вероятность события \(B\). в) Найдите вероятность события \(A \cap B\). г) Найдите вероятность события \(A \cup B\).
Краткие ответы:
№ 3. \(P(A)=0{,}1\).
№ 4. а) \(\frac{6}{11}\); б) \(\frac{7}{11}\); в) \(\frac{3}{11}\); г) \(\frac{10}{11}\).
№ 5. а) \(\frac{7}{20}\); б) \(\frac{9}{20}\); в) \(\frac{1}{5}\); г) \(\frac{3}{5}\).
Как это получается
В классическом определении вероятность — это доля благоприятных равновозможных исходов:
\[ P(A)=\frac{\text{число исходов в }A}{\text{общее число исходов}}. \]
№ 3.
\[ P(A)=\frac{N(A)}{N}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}=0{,}1. \]
№ 4. По точкам на рисунке: всего \(N=11\). Только в \(A\) — 3 точки, в пересечении — 3, только в \(B\) — 4, вне кругов — 1.
\[ P(A)=\frac{3+3}{11}=\frac{6}{11}, \qquad P(B)=\frac{4+3}{11}=\frac{7}{11}. \]
\[ P(A\cap B)=\frac{3}{11}, \qquad P(A\cup B)=\frac{3+4+3}{11}=\frac{10}{11}. \]
№ 5. По областям диаграммы всего исходов:
\[ N=8+3+4+5=20. \]
\[ P(A)=\frac{3+4}{20}=\frac{7}{20}, \qquad P(B)=\frac{5+4}{20}=\frac{9}{20}. \]
\[ P(A\cap B)=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}, \qquad P(A\cup B)=\frac{3+4+5}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}. \]
Проверка для объединения:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) =\frac{7}{20}+\frac{9}{20}-\frac{4}{20} =\frac{12}{20}=\frac{3}{5}. \]
Главное для похожих задач: сначала найди общее число всех равновозможных исходов \(N\), затем — сколько исходов попадает в нужную область. Для \(A\cup B\) («хотя бы одно событие») общую часть \(A\cap B\) нельзя считать дважды, поэтому её вычитают.
