Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Это продолжение: вы прислали изображение с заданием после моей просьбы прислать условие. Разбираю его.

Краткий ответ: \[ \boxed{a\in(-\infty,-\tfrac12)\cup\{0\}\cup\{1\}\cup(\tfrac52,+\infty)} \]

Решение.

Обозначим \[ y=(a-1)x^2+3x. \] Тогда уравнение принимает вид \[ y^2-2y+1-a^2=0. \] Выделим квадрат: \[ (y-1)^2-a^2=0 \] \[ (y-1-a)(y-1+a)=0. \] Значит, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: \[ (a-1)x^2+3x=a+1 \] или \[ (a-1)x^2+3x=1-a. \]

Рассмотрим \(a\ne1\). Первое уравнение: \[ (a-1)x^2+3x-(a+1)=0. \] Его дискриминант \[ D_1=9+4(a-1)(a+1)=4a^2+5>0, \] поэтому оно всегда даёт два различных действительных корня.

Второе уравнение: \[ (a-1)x^2+3x-(1-a)=0, \] \[ D_2=9-4(a-1)^2. \] Оно имеет действительные корни при \[ |a-1|\le \frac32 \quad\Longleftrightarrow\quad -\frac12\le a\le\frac52. \]

• Если \(a<-\frac12\) или \(a>\frac52\), то второе уравнение корней не имеет. Остаются только два корня первого уравнения — подходит.
• Если \(a\) лежит внутри интервала \(\left(-\frac12;\frac52\right)\), то второе уравнение даёт ещё два корня. Общие корни возможны только при \(a=0\): вычитая уравнения, получаем \(-2a=0\). При \(a=0\) уравнения совпадают, поэтому корней ровно два. При остальных \(a\ne0\) корней было бы четыре.
• На концах \(a=-\frac12\) и \(a=\frac52\) второе уравнение имеет один двукратный корень, не совпадающий с корнями первого, поэтому всего корней три — не подходит.

Отдельно проверим \(a=1\): \[ (3x)^2-2(3x)+1-1=0, \] \[ 9x^2-6x=0, \] \[ 3x(3x-2)=0. \] Корни \(x=0\) и \(x=\frac23\) — ровно два. Значит, \(a=1\) подходит.

Итак: \[ \boxed{a\in(-\infty,-\tfrac12)\cup\{0\}\cup\{1\}\cup(\tfrac52,+\infty)}. \]