19. Найдите все значения a, при которых уравнение ((a−1)x²+3x)²−2((a−1)x²+3x)+1−a²=0 имеет ровно два решения.

Краткий ответ: \[ a\in(-\infty;-\tfrac12)\cup\{0\}\cup\{1\}\cup(\tfrac52;+\infty). \]

Ключевая идея — замена. Заметим одинаковое выражение \[ t=(a-1)x^2+3x. \] Тогда уравнение принимает вид \[ t^2-2t+1-a^2=0, \] то есть \[ (t-1)^2=a^2 \quad\Longrightarrow\quad t=1+a \ \text{или}\ t=1-a. \]

Получаем две ветви: \[ (a-1)x^2+3x-(1+a)=0, \] \[ (a-1)x^2+3x-(1-a)=0. \]

1. Обычный случай: \(a\ne1\)

Обе ветви — квадратные уравнения. Их дискриминанты: \[ D_1=9+4(a-1)(a+1)=4a^2+5>0, \] \[ D_2=9-4(a-1)^2. \]

Первая ветвь всегда даёт два различных корня. Если ещё и \(a\ne0\), ветви не имеют общих корней: их левые части отличаются на \(-2a\).

Значит, при \(a\ne0,\ a\ne1\) нужно, чтобы вторая ветвь не давала действительных корней: \[ D_2<0. \] \[ 9-4(a-1)^2<0 \] \[ |a-1|>\frac32. \] Отсюда \[ a<-\frac12 \quad\text{или}\quad a>\frac52. \]

При \(a=-\frac12\) и \(a=\frac52\) дискриминант \(D_2=0\): вторая ветвь даёт ещё один корень, всего получается 3, поэтому эти значения не подходят.

2. Особые случаи

\(a=0\): обе ветви совпадают: \[ -x^2+3x=1, \] \[ x^2-3x+1=0. \] Дискриминант \(9-4=5>0\), значит, ровно два решения. Поэтому \(a=0\) подходит.

\(a=1\): исходное уравнение превращается в \[ (3x)^2-2\cdot 3x=0, \] \[ 9x^2-6x=0, \] \[ 3x(3x-2)=0. \] Корни \(x=0\) и \(x=\frac23\), то есть ровно два решения. Поэтому \(a=1\) тоже подходит.

Ответ: \[ \boxed{a\in(-\infty;-\tfrac12)\cup\{0\}\cup\{1\}\cup(\tfrac52;+\infty).} \]