Что такое корень уравнение
Кратко: корень уравнения — это такое число, при подстановке которого вместо неизвестного (обычно \(x\)) получается верное равенство.
Как это работает — на примерах
Уравнение \(x + 7 = 12\). Подставляем \(x = 5\): \(5 + 7 = 12\) — верно. Значит, 5 — корень. А если взять \(x = 6\): \(6 + 7 = 13 \ne 12\) — неверно, значит 6 корнем не является.
Уравнение \(3x = 21\). Подходит \(x = 7\), ведь \(3 \cdot 7 = 21\). Корень — 7.
Уравнение \(x + 5 = x + 3\). При любом \(x\) слева число на 2 больше, чем справа, — равенство никогда не станет верным. Корней нет.
Уравнение \(x \cdot 0 = 0\). Подойдёт любое число, ведь ноль умножить на что угодно — ноль. Корнем является любое число.
Главное, что нужно запомнить
- Корень — это число, а не само уравнение и не неизвестное.
- Проверка — обязательный шаг: подставь найденное число в исходное уравнение и посчитай, получилось ли верное равенство.
- Решить уравнение — значит найти все его корни (или доказать, что их нет).
- Корней может быть один, несколько или ни одного — это нормально.
Мини-тренировка: является ли 4 корнем уравнения \(2x + 1 = 9\)? Проверяем: \(2 \cdot 4 + 1 = 9\) — верно, значит да, 4 — корень.
Обсуждение
3 сообщенияНомер 3.137
Ответы (корни уравнений):
а) \(x = 8\); б) \(y = 11\); в) \(z = 153\); г) \(b = 32\); д) \(p = 65\); е) \(s = 26\).
Как решать — по шагам
Главный приём: сначала «освобождаем» неизвестное от действий, выполняя обратные действия, а в конце обязательно проверяем подстановкой.
а) \(36x = 288\)
Неизвестен множитель: \(x = 288 : 36 = 8\). Проверка: \(36 \cdot 8 = 288\) — верно, значит 8 — корень.
б) \(242 : y = 22\)
Неизвестен делитель: \(y = 242 : 22 = 11\). Проверка: \(242 : 11 = 22\) — верно.
в) \(z : 17 = 9\)
Неизвестно делимое: \(z = 9 \cdot 17 = 153\). Проверка: \(153 : 17 = 9\) — верно.
г) \((28 + b) \cdot 13 = 780\)
Скобку принимаем за одно число. Неизвестен множитель: \[ 28 + b = 780 : 13 = 60, \] теперь неизвестно слагаемое: \[ b = 60 - 28 = 32. \] Проверка: \((28 + 32) \cdot 13 = 60 \cdot 13 = 780\) — верно.
д) \(16(p - 30) = 560\)
Скобка — неизвестный множитель: \[ p - 30 = 560 : 16 = 35, \] \[ p = 35 + 30 = 65. \] Проверка: \(16 \cdot (65 - 30) = 16 \cdot 35 = 560\) — верно.
е) \((47 - s) \cdot 18 = 378\)
\[ 47 - s = 378 : 18 = 21, \] здесь \(s\) — вычитаемое, поэтому \[ s = 47 - 21 = 26. \] Проверка: \((47 - 26) \cdot 18 = 21 \cdot 18 = 378\) — верно.
Что запомнить
- Неизвестный множитель: \(x = \text{произведение} : \text{известный множитель}\).
- Неизвестный делитель: \(y = \text{делимое} : \text{частное}\).
- Неизвестное делимое: \(z = \text{частное} \cdot \text{делитель}\).
- Если в уравнении скобка, её удобно считать одним числом и раскрывать только на последнем шаге.
- Найденное число — корень только тогда, когда подстановка даёт верное равенство; я это проверил во всех шести случаях.
Номер 3.130
