3.363 а) Запишите все делители числа 24 и все делители числа 36. Выпишите в порядке убывания одинаковые делители этих чисел. б) Найдите все простые числа, меньшие 50.

Краткий ответ

а) Делители числа 24: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\).
Делители числа 36: \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\).
Одинаковые делители в порядке убывания: \(12, 6, 4, 3, 2, 1\).

б) Простые числа, меньшие 50:
\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\).

Как это получить

Пункт а. Делитель — это число, на которое данное число делится без остатка. Искать делители удобно парами: берём число \(d\), смотрим частное \(n : d\) — оба будут делителями.

Для 24: \[ 1\cdot24,\quad 2\cdot12,\quad 3\cdot8,\quad 4\cdot6 \] Следующее число 5 не делит 24, а пары уже замкнулись на \(4\cdot6\), значит список полный: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\).

Для 36: \[ 1\cdot36,\quad 2\cdot18,\quad 3\cdot12,\quad 4\cdot9,\quad 6\cdot6 \] Отсюда делители: \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\).

Сравниваем списки и берём общие: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\). В порядке убывания — \(12, 6, 4, 3, 2, 1\). Кстати, самое большое из них — это наибольший общий делитель: \(\text{НОД}(24,36)=12\).

Пункт б. Простое число имеет ровно два делителя: единицу и само себя (поэтому 1 простым не является). Чтобы проверить число меньше 50, достаточно убедиться, что оно не делится на простые \(2, 3, 5, 7\) — ведь \(7^2=49<50\), а следующее простое 11 уже даёт \(11^2>50\).

Выписываем по порядку и отбрасываем составные: 1 не простое; \(4=2\cdot2\), \(6=2\cdot3\), \(8=2\cdot4\), \(9=3\cdot3\), \(10=2\cdot5\), \(12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48\) — составные, \(49=7\cdot7\) тоже. Остаются 15 чисел из ответа.

Проверка

• 12 делит и 24 (\(24:12=2\)), и 36 (\(36:12=3\)); числа 6, 4, 3, 2, 1 тоже делят оба числа без остатка, а больше 12 общих делителей нет.
• В списке простых ни одно число не делится на 2, 3, 5 или 7 (кроме самих 2, 3, 5, 7), а 49 в список не попало — верно.

Похожее задание решается так же: выписывай делители парами, а для простых чисел проверяй делимость только на простые до корня из границы.