тиарема пифогора с нулья

Похоже, речь о теореме Пифагора «с нуля» — разбираю её с самого начала.

Краткий ответ

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

где \(a\) и \(b\) — катеты (стороны, образующие прямой угол), \(c\) — гипотенуза (сторона напротив прямого угла, самая длинная).

Шаг 1. Кто есть кто

• Прямой угол — \(90^\circ\), его отмечают квадратиком.
• Две стороны, которые «держат» этот угол, — катеты.
• Третья сторона, которая прямой угол «замыкает», — гипотенуза. Она всегда длиннее каждого катета.

Шаг 2. Почему формула верна

Возьмём квадрат со стороной \(a+b\) и разобьём его двумя способами.

Способ 1. Просто как квадрат:

\[ S = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Способ 2. Внутри — четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами \(a, b\) и гипотенузой \(c\), а между ними — наклонный квадрат со стороной \(c\):

\[ S = 4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 \]

Площадь одна и та же, значит:

\[ a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \]

Слагаемое \(2ab\) сокращается, и остаётся:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Вот и вся теорема: она про равенство площадей квадратов, построенных на сторонах треугольника.

Шаг 3. Как применять

Ищем гипотенузу — складываем квадраты катетов:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Пример: \(a = 6\), \(b = 8\).

\[ c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Ищем катет — из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета:

\[ b = \sqrt{c^2 - a^2} \]

Пример: \(c = 13\), \(a = 5\).

\[ b = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \]

Шаг 4. Проверка

Подставь ответ обратно: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\). Сходится — значит, решено верно. Ещё признак: гипотенуза должна получиться больше каждого катета. Если вышло меньше — где-то перепутаны сложение и вычитание.

Частые ошибки

• Складывают сами стороны (\(a + b\)) вместо их квадратов.
• Забывают, что при поиске катета нужно вычитать, а не складывать.
• Берут за гипотенузу не ту сторону — она всегда лежит против прямого угла.
• Пишут \(c = a^2 + b^2\) без корня.

Полезно запомнить «египетский» треугольник \(3, 4, 5\): \(9 + 16 = 25\). Он часто встречается в задачах и удобен для самопроверки.