Формула полной вероятности. Формула Байеса. Сумма вероятностей в цепи S

Краткий ответ. По формуле полной вероятности \(P(B)=0{,}75\). По формуле Байеса \(P(A_1\mid B)=0{,}8\), \(P(A_2\mid B)=0{,}2\). Сумма вероятностей всех исходов в цепи \(S\) равна \(1\).

Что я прочитал на схеме. \(P(A_1)=0{,}75\), \(P(A_2)=0{,}25\); из \(A_1\): \(P(B\mid A_1)=0{,}8\), \(P(\overline{B}\mid A_1)=0{,}2\); из \(A_2\): \(P(B\mid A_2)=0{,}6\), \(P(\overline{B}\mid A_2)=0{,}4\). Если у тебя \(B\) отмечено на других ветвях, скажи — пересчитаю.

Как работает дерево. Здесь два правила:

• вдоль одной цепочки вероятности умножаются;
• вероятности разных цепочек, ведущих к одному событию, складываются.

1. Формула полной вероятности. Событие \(B\) идёт либо через \(A_1\), либо через \(A_2\), эти варианты несовместны: \[ P(B)=P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2) \] \[ =0{,}75\cdot0{,}8+0{,}25\cdot0{,}6=0{,}6+0{,}15=0{,}75. \] Слагаемое \(0{,}6\) — вероятность пути \(S\to A_1\to B\), слагаемое \(0{,}15\) — пути \(S\to A_2\to B\).

2. Формула Байеса. Она отвечает на вопрос: если \(B\) уже произошло, какова вероятность, что это случилось через данную гипотезу? \[ P(A_1\mid B)=\frac{P(A_1)P(B\mid A_1)}{P(B)}=\frac{0{,}6}{0{,}75}=0{,}8, \] \[ P(A_2\mid B)=\frac{P(A_2)P(B\mid A_2)}{P(B)}=\frac{0{,}15}{0{,}75}=0{,}2. \] В знаменателе — вся вероятность \(B\) (\(0{,}75\)), в числителе — только та её часть, которая пришла через нужную гипотезу.

Проверка. Сумма всех четырёх путей: \[ 0{,}6+0{,}15+0{,}15+0{,}1=1. \] При этом \(P(B)=0{,}75\), \(P(\overline{B})=0{,}15+0{,}1=0{,}25\), и \(0{,}75+0{,}25=1\). В каждой развилке: \(0{,}75+0{,}25=1\), \(0{,}8+0{,}2=1\), \(0{,}6+0{,}4=1\). После Байеса: \(0{,}8+0{,}2=1\). Это и есть проверка «сумма вероятностей в цепи \(S\)».

Тонкость. \(P(A_1\mid B)=0{,}8\) совпало с \(P(B\mid A_1)=0{,}8\) случайно — потому что здесь \(P(A_1)=P(B)=0{,}75\). В общем случае это разные величины, и формулы у них разные.