Постройте график функции f, если известны ее свойства (см. табл. на с. 55).

На изображении видно только задание 94 и таблицу — условия 95 там нет, поэтому решать его наугад не буду.

Пришлите текст или фото задания 95 (желательно вместе с таблицей, на которую оно опирается), и я разберу его так же по шагам.

Я вижу только одно изображение — с заданием 94 и таблицей на с. 55. Второе фото, видимо, не прикрепилось.

Пришлите, пожалуйста, фото задания 95 ещё раз — и я сразу его решу.

Вот похожая задача — с такими же типами данных, но другими числами.

Задача. Постройте эскиз графика функции \(f\), если известны её свойства:

Как действовать

1. Нанеси на координатную плоскость все известные точки: \((-4;3)\), \((-2;-1)\), \((0;2)\), \((3;4)\), \((5;-2)\), \((6;0)\).
2. Отметь нули на оси \(Ox\): \(-2{,}5\), \(-\frac{4}{3}\), \(\frac{13}{3}\), \(6\).
3. Соедини точки плавной линией: на промежутках возрастания веди график вверх, на промежутках убывания — вниз.
4. В точках \((-2;-1)\) и \((5;-2)\) должны получиться минимумы, в точке \((3;4)\) — максимум.
5. Проверь знаки: например, на \((-2;-2{,}5)\) график должен идти ниже оси \(Ox\), а около \(x=0\) — выше.

Ориентир для самопроверки

Каркас графика слева направо:

\[ (-4;3)\to(-2;-1)\to(0;2)\to(3;4)\to(5;-2)\to(6;0). \]

График не обязан быть ломаной: важны только прохождение через эти точки, экстремумы и промежутки возрастания и убывания.

Задание 95. Исследую каждую функцию по схеме: область определения, область значений, нули, знаки, монотонность и экстремумы, чётность, точки для построения.

а) \(f(x)=5-2x\)

1. Область определения: \(\mathbb{R}\); область значений: \(\mathbb{R}\).
2. Нули: \(5-2x=0 \Rightarrow x=2{,}5\). Точка \((2{,}5;0)\).
   С осью \(Oy\): \((0;5)\).
3. Знаки:
   \(f(x)>0\) при \(x<2{,}5\);
   \(f(x)<0\) при \(x>2{,}5\).
4. Монотонность: коэффициент при \(x\) равен \(-2<0\), поэтому функция убывает на всём \(\mathbb{R}\). Экстремумов нет.
5. Чётность: \(f(-x)=5+2x\), поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
6. График — прямая. Для построения достаточно точек \((0;5)\) и \((2{,}5;0)\); контрольная точка \((1;3)\).

б) \(f(x)=3-2x-x^2\)

Перепишем: \(f(x)=-x^2-2x+3\) — парабола, ветви вниз.

1. Область определения: \(\mathbb{R}\).
   Вершина:
   \[ x_0=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1,\qquad f(-1)=4. \] Вершина \((-1;4)\), ось симметрии \(x=-1\).
   Область значений: \((-\infty;4]\).
2. Нули:
   \[ -x^2-2x+3=0 \Rightarrow x^2+2x-3=0 \Rightarrow x=-3,\ x=1. \] Точки \((-3;0)\), \((1;0)\).
   С осью \(Oy\): \((0;3)\).
3. Знаки:
   \(f(x)>0\) при \(x\in(-3;1)\);
   \(f(x)<0\) при \(x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)\).
4. Монотонность: возрастает на \((-\infty;-1]\), убывает на \([-1;+\infty)\).
   Максимум: \(f(-1)=4\). Минимума нет.
5. Чётность: ни чётная, ни нечётная.
6. Точки для графика:
   \[ (-4;-5),\ (-3;0),\ (-2;3),\ (-1;4),\ (0;3),\ (1;0),\ (2;-5). \]

в) \(f(x)=3x-2\)

1. Область определения: \(\mathbb{R}\); область значений: \(\mathbb{R}\).
2. Нуль: \(3x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{3}\). Точка \(\left(\frac{2}{3};0\right)\).
   С осью \(Oy\): \((0;-2)\).
3. Знаки:
   \(f(x)>0\) при \(x>\frac{2}{3}\);
   \(f(x)<0\) при \(x<\frac{2}{3}\).
4. Монотонность: коэффициент \(3>0\), функция возрастает на \(\mathbb{R}\). Экстремумов нет.
5. Чётность: ни чётная, ни нечётная.
6. График — прямая. Через точки \((0;-2)\) и \(\left(\frac{2}{3};0\right)\); контрольная точка \((1;1)\).

г) \(f(x)=x^2-3x+2\)

Парабола, ветви вверх.

1. Область определения: \(\mathbb{R}\).
   Вершина:
   \[ x_0=\frac{3}{2}=1{,}5,\qquad f(1{,}5)=-0{,}25. \] Вершина \((1{,}5;-0{,}25)\), ось симметрии \(x=1{,}5\).
   Область значений: \([-0{,}25;+\infty)\).
2. Нули:
   \[ x^2-3x+2=0 \Rightarrow (x-1)(x-2)=0 \Rightarrow x=1,\ x=2. \] Точки \((1;0)\), \((2;0)\).
   С осью \(Oy\): \((0;2)\).
3. Знаки:
   \(f(x)>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\);
   \(f(x)<0\) при \(x\in(1;2)\).
4. Монотонность: убывает на \((-\infty;1{,}5]\), возрастает на \([1{,}5;+\infty)\).
   Минимум: \(f(1{,}5)=-0{,}25\). Максимума нет.
5. Чётность: ни чётная, ни нечётная.
6. Точки для графика:
   \[ (-1;6),\ (0;2),\ (1;0),\ (1{,}5;-0{,}25),\ (2;0),\ (3;2),\ (4;6). \]

Как строить графики

• Для прямых а) и в) отметьте две точки и проведите через них прямую.
• Для парабол б) и г) отметьте вершину, нули, точку пересечения с осью \(Oy\) и симметричные точки; соедините плавной линией.
• В пункте б) ветви параболы направлены вниз, поэтому наибольшее значение равно \(4\); в пункте г) ветви вверх, поэтому наименьшее значение равно \(-0{,}25\).

Теперь фото с заданием 95 видно — решаю его.

Краткий ответ

• а) \(f(x)=5-2x\) — прямая, убывает, нуль при \(x=2{,}5\).
• б) \(f(x)=3-2x-x^2\) — парабола, ветви вниз, вершина \((-1;4)\), нули \(-3\) и \(1\).
• в) \(f(x)=3x-2\) — прямая, возрастает, нуль при \(x=\frac{2}{3}\).
• г) \(f(x)=x^2-3x+2\) — парабола, ветви вверх, вершина \((1{,}5;-0{,}25)\), нули \(1\) и \(2\).

Решение по общей схеме

а) \(f(x)=5-2x\)

1. Область определения: \(\mathbb{R}\); область значений: \(\mathbb{R}\).
2. Нуль: \(5-2x=0\), откуда \(x=2{,}5\). Точка \((2{,}5;0)\).
   С осью \(Oy\): \(f(0)=5\), точка \((0;5)\).
3. Знаки: \[ f(x)>0 \text{ при } x<2{,}5,\qquad f(x)<0 \text{ при } x>2{,}5. \]
4. Функция убывает на всей области определения.
5. Экстремумов нет.
6. График — прямая через точки \((0;5)\) и \((2{,}5;0)\). Для проверки можно взять \((1;3)\).

б) \(f(x)=3-2x-x^2\)

Выделим полный квадрат: \[ f(x)=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4. \]

1. Область определения: \(\mathbb{R}\); область значений: \((-\infty;4]\).
2. Вершина параболы: \((-1;4)\), ветви направлены вниз.
3. Нули: \[ -x^2-2x+3=0 \;\Longrightarrow\; x^2+2x-3=0 \;\Longrightarrow\; x=-3,\ x=1. \] Точки \((-3;0)\) и \((1;0)\).
   С осью \(Oy\): \(f(0)=3\), точка \((0;3)\).
4. Знаки: \[ f(x)>0 \text{ при } x\in(-3;1), \] \[ f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty). \]
5. Возрастает на \((-\infty;-1]\), убывает на \([-1;+\infty)\).
6. Максимум: \(f(-1)=4\). Минимума нет.
7. Дополнительные точки: \((-2;3)\), \((2;-5)\).

в) \(f(x)=3x-2\)

1. Область определения: \(\mathbb{R}\); область значений: \(\mathbb{R}\).
2. Нуль: \(3x-2=0\), откуда \(x=\frac{2}{3}\). Точка \(\left(\frac{2}{3};0\right)\).
   С осью \(Oy\): \(f(0)=-2\), точка \((0;-2)\).
3. Знаки: \[ f(x)>0 \text{ при } x>\frac{2}{3},\qquad f(x)<0 \text{ при } x<\frac{2}{3}. \]
4. Функция возрастает на всей области определения.
5. Экстремумов нет.
6. График — прямая через точки \((0;-2)\) и \(\left(\frac{2}{3};0\right)\). Для проверки: \((1;1)\).

г) \(f(x)=x^2-3x+2\)

Выделим полный квадрат: \[ f(x)=x^2-3x+2=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}. \]

1. Область определения: \(\mathbb{R}\); область значений: \(\left[-\frac{1}{4};+\infty\right)\).
2. Вершина параболы: \(\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{4}\right)\), то есть \((1{,}5;-0{,}25)\). Ветви вверх.
3. Нули: \[ x^2-3x+2=0 \;\Longrightarrow\; x=1,\ x=2. \] Точки \((1;0)\) и \((2;0)\).
   С осью \(Oy\): \(f(0)=2\), точка \((0;2)\).
4. Знаки: \[ f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty), \] \[ f(x)<0 \text{ при } x\in(1;2). \]
5. Убывает на \(\left(-\infty;\frac{3}{2}\right]\), возрастает на \(\left[\frac{3}{2};+\infty\right)\).
6. Минимум: \(f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{1}{4}\). Максимума нет.
7. Дополнительные точки: \((3;2)\), \((-1;6)\).

Как строить эскизы

• Для прямой достаточно двух точек — лучше брать точки пересечения с осями.
• Для параболы сначала отмечаем вершину, затем нули и точку пересечения с \(Oy\). После этого добавляем 1–2 симметричные точки.
• Ветви параболы направлены вверх, если коэффициент при \(x^2\) положителен, и вниз, если отрицателен.

Проверка

Подстановка ключевых точек в формулы даёт верные значения: например, у пункта б \(f(-2)=3\), у пункта г \(f(3)=2\). Вершины и нули согласуются с формулами.

Все четыре функции — линейные или квадратные, поэтому исследую по стандартной схеме без производной. У всех \(D(f)=\mathbb R\); ни одна из них не является чётной или нечётной; периодичности и асимптот нет.

95. а) \(f(x)=5-2x\)

• \(D(f)=\mathbb R\), \(E(f)=\mathbb R\).
• Нуль: \(5-2x=0\), значит \(x=2{,}5\). Точка \((2{,}5;0)\).
• С осью \(Oy\): \((0;5)\).
• Знаки:
  \[ f(x)>0 \text{ при } x<2{,}5,\qquad f(x)<0 \text{ при } x>2{,}5. \]
• Функция убывает на всей \(\mathbb R\), так как коэффициент при \(x\) равен \(-2\).
• Экстремумов нет.
• График — прямая через точки \((0;5)\) и \((2{,}5;0)\). Можно взять ещё \((1;3)\) и \((-1;7)\).

95. б) \(f(x)=3-2x-x^2\)

Удобно записать: \[ f(x)=-(x+1)^2+4. \]

• \(D(f)=\mathbb R\), \(E(f)=(-\infty;4]\).
• Нули: \[ 3-2x-x^2=0 \] \[ x^2+2x-3=0 \] \[ x_1=-3,\quad x_2=1. \] Точки \((-3;0)\) и \((1;0)\).
• С осью \(Oy\): \((0;3)\).
• Знаки: \[ f(x)>0 \text{ на }(-3;1), \] \[ f(x)<0 \text{ на }(-\infty;-3)\cup(1;+\infty). \]
• Вершина параболы: \[ x_0=-1,\qquad f(-1)=4. \] Это точка максимума \((-1;4)\).
• Функция возрастает на \((-\infty;-1]\), убывает на \([-1;+\infty)\).
• Ось симметрии: \(x=-1\).
• Дополнительные точки: \((-2;3)\), \((0;3)\), \((-4;-5)\), \((2;-5)\).
• График — парабола ветвями вниз.

95. в) \(f(x)=3x-2\)

• \(D(f)=\mathbb R\), \(E(f)=\mathbb R\).
• Нуль: \[ 3x-2=0 \Rightarrow x=\frac23. \] Точка \(\left(\frac23;0\right)\).
• С осью \(Oy\): \((0;-2)\).
• Знаки: \[ f(x)<0 \text{ при } x<\frac23, \] \[ f(x)>0 \text{ при } x>\frac23. \]
• Функция возрастает на всей \(\mathbb R\), так как коэффициент при \(x\) равен \(3>0\).
• Экстремумов нет.
• График — прямая через \(\left(0;-2\right)\) и \(\left(\frac23;0\right)\). Ещё можно взять \((1;1)\) и \((-1;-5)\).

95. г) \(f(x)=x^2-3x+2\)

Разложим: \[ f(x)=(x-1)(x-2). \]

• \(D(f)=\mathbb R\).
• \(E(f)=\left[-\frac14;+\infty\right)\).
• Нули: \[ x_1=1,\quad x_2=2. \] Точки \((1;0)\), \((2;0)\).
• С осью \(Oy\): \((0;2)\).
• Знаки: \[ f(x)>0 \text{ на }(-\infty;1)\cup(2;+\infty), \] \[ f(x)<0 \text{ на }(1;2). \]
• Вершина: \[ x_0=\frac{3}{2},\qquad f\left(\frac32\right)=-\frac14. \] Это точка минимума \(\left(\frac32;-\frac14\right)\).
• Функция убывает на \(\left(-\infty;\frac32\right]\), возрастает на \(\left[\frac32;+\infty\right)\).
• Ось симметрии: \(x=\frac32\).
• Дополнительные точки: \((0;2)\), \((3;2)\).
• График — парабола ветвями вверх.

Проверка: нули и вершины подставлены в формулы верно; направления ветвей соответствуют знаку коэффициента при \(x^2\): у б) ветви вниз, у г) вверх.

На фото — следующее задание 96 из того же блока «95—99». Решаю его по той же общей схеме.

96. а) \(f(x)=\dfrac{1}{x}-2\)

1. Область определения: \(x\neq 0\), то есть \((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
2. Область значений: \((-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)\). Прямая \(y=-2\) — горизонтальная асимптота.
3. Нуль:
   \[ \frac{1}{x}-2=0 \Rightarrow \frac{1}{x}=2 \Rightarrow x=\frac12. \] Точка \(\left(\frac12;0\right)\).
4. С осью \(Oy\): пересечения нет, так как \(x=0\) не входит в область определения. Прямая \(x=0\) — вертикальная асимптота.
5. Знаки:
   \[ f(x)>0 \text{ при } x\in\left(0;\frac12\right), \] \[ f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac12;+\infty\right). \]
6. Монотонность:
   \[ f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0. \] Функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\). Экстремумов нет.
7. Чётность: ни чётная, ни нечётная.
8. График — гипербола \(y=\frac1x\), сдвинутая вниз на 2. Для построения: \((1;-1)\), \((-1;-3)\), \(\left(2;-\frac32\right)\), \(\left(-2;-\frac52\right)\).

96. б) \(f(x)=-(x-3)^4\)

1. Область определения: \(\mathbb R\).
2. Область значений: \((-\infty;0]\), так как \((x-3)^4\ge0\).
3. Нуль и максимум:
   \[ -(x-3)^4=0 \Rightarrow x=3. \] Точка \((3;0)\) — вершина, наибольшее значение \(0\).
4. С осью \(Oy\):
   \[ f(0)=-(-3)^4=-81. \] Точка \((0;-81)\).
5. Знаки: \(f(x)<0\) при всех \(x\neq3\); \(f(3)=0\).
6. Монотонность:
   \[ f'(x)=-4(x-3)^3. \] При \(x<3\) производная положительна — функция возрастает; при \(x>3\) — убывает. Максимум в точке \((3;0)\).
7. Чётность: ни чётная, ни нечётная.
8. График — «парабола» четвёртой степени ветвями вниз с осью симметрии \(x=3\). Точки для построения: \((2;-1)\), \((4;-1)\), \((1;-16)\), \((5;-16)\).

96. в) \(f(x)=\dfrac{1}{x+2}\)

1. Область определения: \(x\neq-2\), то есть \((-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)\).
2. Область значений: \((-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
3. Нули: уравнение \(\frac{1}{x+2}=0\) решений не имеет, график не пересекает ось \(Ox\).
4. С осью \(Oy\):
   \[ f(0)=\frac12. \] Точка \(\left(0;\frac12\right)\).
5. Знаки:
   \[ f(x)>0 \text{ при } x>-2,\qquad f(x)<0 \text{ при } x<-2. \]
6. Монотонность:
   \[ f'(x)=-\frac{1}{(x+2)^2}<0. \] Функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty;-2)\) и \((-2;+\infty)\). Экстремумов нет.
7. Чётность: ни чётная, ни нечётная.
8. Асимптоты: вертикальная \(x=-2\), горизонтальная \(y=0\).
9. График — гипербола \(y=\frac1x\), сдвинутая влево на 2. Точки для построения: \((-1;1)\), \((-3;-1)\), \(\left(0;\frac12\right)\), \(\left(2;\frac14\right)\).

96. г) \(f(x)=x^3-1\)

1. Область определения: \(\mathbb R\); область значений: \(\mathbb R\).
2. Нуль:
   \[ x^3-1=0 \Rightarrow x=1. \] Точка \((1;0)\).
3. С осью \(Oy\):
   \[ f(0)=-1. \] Точка \((0;-1)\).
4. Знаки:
   \[ f(x)>0 \text{ при } x>1,\qquad f(x)<0 \text{ при } x<1. \]
5. Монотонность:
   \[ f'(x)=3x^2\ge0. \] Функция возрастает на всей \(\mathbb R\). Экстремумов нет, в точке \((0;-1)\) — перегиб.
6. Чётность: ни чётная, ни нечётная.
7. График — кубическая парабола \(y=x^3\), сдвинутая вниз на 1. Точки для построения: \((1;0)\), \((2;7)\), \((-1;-2)\), \((-2;-9)\).

Проверка ключевых значений

• а) \(f(1)=-1\), \(f(-1)=-3\);
• б) \(f(2)=-1\), \(f(4)=-1\);
• в) \(f(-1)=1\), \(f(-3)=-1\);
• г) \(f(2)=7\), \(f(-1)=-2\).

Все значения совпадают с формулами.