На оценку «3» исследовать функцию f(x) = x + 5

Краткий ответ

На фото — три варианта одного и того же задания «исследовать функцию», разного уровня. Ниже — исследование всех трёх: выбери то, которое задано тебе (или возьми «своё» по оценке).

Что вообще значит «исследовать функцию»

Это стандартный план, по которому делается любое такое задание:

1. Область определения \(D(f)\).
2. Нули функции (\(f(x)=0\)) и точка пересечения с осью \(Oy\) (\(f(0)\)).
3. Промежутки знакопостоянства (\(f>0\), \(f<0\)).
4. Чётность/нечётность.
5. Монотонность и экстремумы (через производную или свойства функции).
6. Область значений \(E(f)\), поведение на концах области.
7. Асимптоты (если есть).
8. Эскиз графика.

1) \(f(x)=x+5\) (уровень «3»)

• \(D(f)=\mathbb{R}\): многочлен определён при любых \(x\).
• Нуль: \(x+5=0 \Rightarrow x=-5\). С осью \(Oy\): \(f(0)=5\), точка \((0;5)\).
• Знаки: \(f(x)<0\) при \(x<-5\), \(f(x)>0\) при \(x>-5\).
• Чётность: \(f(-x)=-x+5\), это не равно ни \(f(x)\), ни \(-f(x)\) — функция общего вида.
• Производная \(f'(x)=1>0\), значит функция возрастает на всём \(\mathbb{R}\); критических точек нет, экстремумов нет.
• \(E(f)=\mathbb{R}\), асимптот нет.
• График — прямая через точки \((-5;0)\) и \((0;5)\).

Проверка: подставим \(x=-5\): \(-5+5=0\) — верно; подставим \(x=0\): \(5\) — верно.

2) \(f(x)=x^2-5x+6\) (уровень «4»)

• \(D(f)=\mathbb{R}\).
• Нули: \(x^2-5x+6=0\), дискриминант \(D=25-24=1\), корни \(x=\frac{5\pm 1}{2}\), то есть \(x=2\) и \(x=3\). С осью \(Oy\): \(f(0)=6\).
• Знаки: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), поэтому \(f>0\) при \(x<2\) и \(x>3\), \(f<0\) при \(2<x<3\).
• Чётность: \(f(-x)=x^2+5x+6\neq \pm f(x)\) — функция общего вида (не симметрична ни относительно \(Oy\), ни относительно начала координат).
• Производная: \(f'(x)=2x-5\). Нуль производной: \(x=2{,}5\). При \(x<2{,}5\) производная отрицательна → функция убывает; при \(x>2{,}5\) положительна → возрастает. Значит \(x=2{,}5\) — точка минимума, \(f(2{,}5)=6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25=-\frac14\). Максимума нет.
• \(E(f)=\left[-\frac14;+\infty\right)\).
• Асимптот нет. График — парабола ветвями вверх с вершиной \(\left(2{,}5;-\frac14\right)\), проходящая через \((2;0)\), \((3;0)\), \((0;6)\).

Проверка: \(f(2)=4-10+6=0\), \(f(3)=9-15+6=0\) — нули верны; \(f(2{,}5)=6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25\) — вершина верна.

3) \(f(x)=\sqrt{x-2}-2\) (уровень «5»)

• \(D(f)\): подкоренное выражение неотрицательно, \(x-2\ge 0\), значит \(x\ge 2\), то есть \(D(f)=[2;+\infty)\).
• Нули: \(\sqrt{x-2}-2=0 \Rightarrow \sqrt{x-2}=2 \Rightarrow x-2=4 \Rightarrow x=6\). С осью \(Oy\) пересечения нет: \(x=0\) не входит в область определения.
• Знаки: при \(x\in(2;6)\) корень меньше 2, значит \(f<0\); при \(x>6\) имеем \(f>0\).
• Чётность: область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.
• Монотонность: \(y=\sqrt{x-2}\) возрастает, вычитание константы этого не меняет, значит \(f\) возрастает на всей области. Формально \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-2}}>0\) при \(x>2\).
• Экстремумы: внутри области критических точек нет; наименьшее значение достигается на левом конце: \(f(2)=\sqrt{0}-2=-2\). Это минимум.
• \(E(f)=[-2;+\infty)\).
• Асимптот нет: при \(x\to+\infty\) функция неограниченно растёт; в точке \(x=2\) — конец области, касательная вертикальна.
• График — «половинка» параболы: ветвь \(y=\sqrt{x}\), сдвинутая на 2 вправо и на 2 вниз. Точки: \((2;-2)\), \((3;-1)\), \((6;0)\), \((11;1)\).

Проверка: \(f(6)=\sqrt{4}-2=0\) — нуль верен; \(f(3)=\sqrt{1}-2=-1\) — точка графика верна; \(f(2)=-2\) — минимум верен.

Как действовать с похожим заданием

1. Сначала выпиши область определения — для корня это главное, для многочлена это всё \(\mathbb{R}\).
2. Найди нули и \(f(0)\) — они дают опорные точки графика.
3. Определи знак производной (или монотонность по свойствам) — получишь промежутки возрастания/убывания и точки экстремума.
4. По экстремумам и поведению на концах области запиши область значений и нарисуй эскиз.