Постройте график функции y = ((x+1)(x² - 4))/(x² - x - 2). Определите, при каких значениях k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Краткий ответ

График функции — прямая \(y=x+2\), из которой выколоты точки
\[ (-1;1)\quad\text{и}\quad(2;4). \] Прямая \(y=kx\) не имеет с этим графиком общих точек при \[ k\in\{-1;1;2\}. \]

Разбор

1. Сначала найдём ограничения: \[ x^2-x-2=(x-2)(x+1), \] поэтому \[ x\ne -1,\qquad x\ne 2. \]

2. Преобразуем функцию: \[ \frac{(x+1)(x^2-4)}{x^2-x-2} = \frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} =x+2. \] Но сокращать можно только при \(x\ne -1,2\). Поэтому график — это прямая \(y=x+2\), но с двумя выколотыми точками: \[ x=-1:\ y=1,\qquad x=2:\ y=4. \] То есть выколоты точки \((-1;1)\) и \((2;4)\). Для построения можно провести прямую через \((-2;0)\) и \((0;2)\), а затем отметить две выколотые точки.

3. Ищем пересечение с прямой \(y=kx\): \[ kx=x+2 \] \[ (k-1)x=2. \]

• Если \(k=1\), получаем \(0=2\) — решений нет. Прямые \(y=x\) и \(y=x+2\) параллельны.
• Если \(k\ne 1\), то \[ x=\frac{2}{k-1}. \] Точка пересечения не должна попасть в выколотые точки.

Если \(x=2\): \[ \frac{2}{k-1}=2 \Rightarrow k=2. \]

Если \(x=-1\): \[ \frac{2}{k-1}=-1 \Rightarrow k=-1. \]

При \(k=2\) и \(k=-1\) прямая пересекает «полную» прямую \(y=x+2\) только в выколотой точке, значит с графиком общих точек нет. При \(k=1\) прямые параллельны.

Проверка: \(k=2\) даёт пересечение в \((2;4)\), но эта точка выколота; \(k=-1\) — в \((-1;1)\), тоже выколота; \(k=1\) — параллельные прямые. Значит, подходят ровно три значения.