Как найти площадь треугольника

Кратко: чаще всего площадь треугольника находят по формуле

\[ S=\frac{1}{2}ah_a, \]

где \(a\) — сторона треугольника, а \(h_a\) — высота, проведённая именно к этой стороне.

Какие формулы выбрать

1. Известны сторона и высота к ней: \[ S=\frac{1}{2}ah_a. \]

2. Известны две стороны и угол между ними: \[ S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma. \]

3. Известны три стороны — формула Герона: \[ p=\frac{a+b+c}{2},\qquad S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. \]

4. Прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(b\): \[ S=\frac{1}{2}ab. \]

5. Известны координаты вершин: \[ S=\frac12\left|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\right|. \]

Почему работает основная формула

Треугольник можно достроить до параллелограмма с тем же основанием и той же высотой. Его площадь равна \(ah\), а треугольник занимает ровно половину, поэтому \(S=\frac12 ah\).

Пример с проверкой

Дан треугольник со сторонами \(13\), \(14\), \(15\).

Полупериметр: \[ p=\frac{13+14+15}{2}=21. \]

По формуле Герона: \[ S=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)} =\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6} =\sqrt{7056}=84. \]

Проверка через высоту: если основание \(14\), то \[ h=\frac{2S}{a}=\frac{2\cdot84}{14}=12, \] и тогда \[ S=\frac12\cdot14\cdot12=84. \]

Ответ совпадает. Площадь измеряется в квадратных единицах.