Первый признак равенства треугольника

Объясню так, как нужно для ответа у доски: формулировка → смысл → доказательство → оформление задачи → типичные ошибки.

1. Формулировка, которую надо знать наизусть

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Коротко его называют признаком СУС — «сторона — угол — сторона».

Если

\[ AB=A_1B_1,\qquad AC=A_1C_1,\qquad \angle A=\angle A_1, \]

то

\[ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1. \]

2. Что означают важные слова

• Соответственно равны — стороны первого треугольника равны сторонам второго, причём каждая сторона сравнивается со «своей» стороной.
• Угол между сторонами — угол, образованный именно этими двумя сторонами. В треугольнике \(ABC\) угол между \(AB\) и \(AC\) — это \(\angle A\).
• Равенство треугольников означает, что один треугольник можно наложить на другой так, что они полностью совпадут.

3. Доказательство признака

Совместим треугольник \(ABC\) с треугольником \(A_1B_1C_1\):

1. Вершину \(A\) совместим с \(A_1\), а сторону \(AB\) направим по стороне \(A_1B_1\).
2. Так как \(AB=A_1B_1\), точка \(B\) совпадёт с \(B_1\).
3. Так как \(\angle A=\angle A_1\), сторона \(AC\) пойдёт по стороне \(A_1C_1\).
4. Так как \(AC=A_1C_1\), точка \(C\) совпадёт с \(C_1\).

Все три вершины совпали, значит, треугольники полностью накладываются друг на друга:

\[ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1. \]

Поэтому третий угол и третья сторона проверяются автоматически — их отдельно находить не нужно.

4. Как оформлять задачу

Задача. Дано: \(AB=AD\), \(\angle BAC=\angle DAC\). Доказать: \(\triangle ABC=\triangle ADC\).

Доказательство:

1. \(AB=AD\) — по условию.
2. \(AC\) — общая сторона.
3. \(\angle BAC\) — угол между \(AB\) и \(AC\), \(\angle DAC\) — угол между \(AD\) и \(AC\); по условию \(\angle BAC=\angle DAC\).

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними:

\[ \triangle ABC \cong \triangle ADC. \]

Обрати внимание на порядок вершин: \(A\) соответствует \(A\), \(B\) — \(D\), \(C\) — \(C\).

5. Из-за чего чаще всего снижают оценку

1. Пишут «по двум сторонам и углу», забывая слова «между ними».
2. Берут угол, который не лежит между равными сторонами. Например, \(AB=DE\), \(BC=EF\), \(\angle A=\angle D\) — по первому признаку так делать нельзя.
3. Не указывают, что сторона общая, хотя она действительно общая у двух треугольников.
4. Нарушают порядок вершин в записи равенства треугольников.
5. Ссылаются только на рисунок: «на рисунке видно». Нужно ссылаться на условие или на то, что сторона общая.

6. План ответа у доски

1. Сформулировать признак.
2. Сказать, что угол должен быть между равными сторонами.
3. Доказать наложением в четыре шага.
4. Разобрать короткую задачу с оформлением «Дано — Доказать — Доказательство».
5. Назвать одну типичную ошибку.

Если выучишь формулировку с «между ними», докажешь наложением и покажешь аккуратное оформление задачи, этого достаточно для уверенного ответа. Могу разобрать ещё одну задачу на применение этого признака или проверить твоё решение.