Реши как в школе
Сверь числа и знаки с фото.
1.9. Движение по окружности Базовый уровень 263. Почему движение по криволинейной траектории является движением с ускорением? 264. Что такое один радиан? Выразите в радианах следующие значения угла: 30°, 45°, 60°, 90°. 265. Пластинка проигрывателя вращается с постоянной скоростью и совершает 165 оборотов за 5 мин. Определите период и частоту обращения, а также путь, пройденный точкой, расположенной на расстоянии 15 см от оси вращения, за 1 оборот. 266. Длина минутной стрелки наручных часов составляет 9 мм. Определите скорость перемещения конца стрелки по циферблату. 267. Вычислите скорость Луны относительно Земли. Луна совершает полный оборот за 28 дней, расстояние от Луны до Земли \(3{,}84\cdot10^{8}\) м. 268. С какой приблизительной скоростью мы движемся благодаря вращению Земли вокруг своей оси? Радиус Земли считать равным 6400 км. 269. По закруглению дороги радиусом 1000 м движется поезд со скоростью 20 м/с. Определите ускорение поезда. Куда оно направлено? 270. С какой скоростью должен проезжать самокат середину выпуклого моста радиусом 40 м, чтобы центростремительное ускорение его пассажира составляло \(\frac{1}{4}\) ускорения свободного падения? Что изменится, если мост будет вогнутый? 271. Мотоциклист въезжает на поворот радиусом 300 м и движется по нему со скоростью 54 км/ч. Определите центростремительное ускорение мотоциклиста. Повышенный уровень 272. Сравните периоды обращения и линейные скорости точек, находящихся на колесе диаметром 80 см, если одна из них расположена на ободе колеса, а другая — на расстоянии, равном \(\frac{1}{2}\) радиуса колеса, от оси вращения. 273. От дома до магазина велосипедист доехал за 16 мин, при этом колесо его велосипеда совершило 3000 оборотов. Диаметр колеса 80 см. С какой скоростью ехал велосипедист? Чему равно расстояние от дома до магазина? 274. Минутная стрелка часов в 2 раза длиннее часовой. Во сколько раз отличаются центростремительные ускорения и линейные скорости минутной и часовой стрелок? 275. Шлифовальный круг диаметром 20 см вращается с угловой скоростью 270 рад/с. Определите скорость вращения точек, находящихся на краю круга.
- На рыболовную катушку диаметром 10 см за 20 с равномерного вращения намоталось 8 м очень тонкой прочной лески. Определите период и частоту обращения катушки.
- Велосипед движется со скоростью 18 км/ч. Сколько оборотов совершат колёса велосипеда за 10 с, если диаметр колеса равен 66 см?
- Велосипедист, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, съехал с горы длиной 60 м за 10 с и вошёл в поворот радиусом 200 м. Определите центростремительное ускорение велосипедиста на повороте.
- За какое время колесо сделает 40 оборотов, если угловая скорость равна 8 рад/с.
На фото задачи 263–279. Решаю их по порядку; задачу 280 не беру: в кадре видно только начало условия, данных не хватает.
Ключевые формулы: \[ T=\frac{t}{N},\quad \nu=\frac{1}{T},\quad v=\frac{2\pi r}{T}=\omega r,\quad a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r. \]
263. При криволинейном движении меняется направление вектора скорости. Ускорение показывает быстроту изменения скорости, поэтому оно есть даже при постоянном модуле скорости; оно направлено к центру кривизны.
264. Один радиан — это угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу. \(\alpha_{\text{рад}}=\alpha^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}\). \(30^\circ=\frac{\pi}{6}\approx0{,}52\) рад; \(45^\circ=\frac{\pi}{4}\approx0{,}79\) рад; \(60^\circ=\frac{\pi}{3}\approx1{,}05\) рад; \(90^\circ=\frac{\pi}{2}\approx1{,}57\) рад.
265. \(t=300\) с. \(T=\frac{300}{165}\approx1{,}82\) с; \(\nu=\frac{1}{T}\approx0{,}55\) Гц. Путь за оборот: \(s=2\pi r=2\pi\cdot0{,}15\approx0{,}94\) м.
266. \(T=3600\) с, \(r=0{,}009\) м. \(v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi\cdot0{,}009}{3600}\approx1{,}6\cdot10^{-5}\) м/с.
267. \(T=28\cdot24\cdot3600=2{,}42\cdot10^6\) с. \(v=\frac{2\pi\cdot3{,}84\cdot10^8}{2{,}42\cdot10^6}\approx1{,}0\cdot10^3\) м/с \(=1\) км/с.
268. \(T=86400\) с, \(R=6{,}4\cdot10^6\) м. \(v=\frac{2\pi R}{T}\approx4{,}7\cdot10^2\) м/с \(\approx470\) м/с (на экваторе).
269. \(a_{\text{ц}}=\frac{20^2}{1000}=0{,}4\) м/с². Вектор направлен к центру закругления.
270. При \(g=10\) м/с²: \(a_{\text{ц}}=g/4=2{,}5\) м/с². \(v=\sqrt{a_{\text{ц}}R}=\sqrt{2{,}5\cdot40}=10\) м/с. На вогнутом мосту ускорение направлено вверх, вес пассажира больше.
271. \(v=15\) м/с. \(a_{\text{ц}}=\frac{15^2}{300}=0{,}75\) м/с².
272. \(R=0{,}4\) м, \(r_1=0{,}4\) м, \(r_2=0{,}2\) м. Периоды одинаковы: \(T_1=T_2\). \(\frac{v_1}{v_2}=\frac{r_1}{r_2}=2\): точка на ободе движется в 2 раза быстрее.
273. \(t=960\) с, \(R=0{,}4\) м. Один оборот: \(l=2\pi R\approx2{,}51\) м. \(S=3000l\approx7530\) м \(\approx7{,}5\) км. \(v=\frac{S}{t}\approx7{,}8\) м/с \(\approx28\) км/ч.
274. \(r_{\text{м}}=2r_{\text{ч}}\), \(T_{\text{м}}=1\) ч, \(T_{\text{ч}}=12\) ч. \(\frac{v_{\text{м}}}{v_{\text{ч}}}=2\cdot12=24\). \(\frac{a_{\text{м}}}{a_{\text{ч}}}=2\cdot12^2=288\). У минутной стрелки скорость в 24 раза, ускорение в 288 раз больше.
275. \(R=0{,}1\) м. \(v=\omega R=270\cdot0{,}1=27\) м/с.
276. \(R=0{,}05\) м, \(l=2\pi R\approx0{,}314\) м. \(N=\frac{8}{0{,}314}\approx25{,}5\). \(T=\frac{20}{25{,}5}\approx0{,}78\) с; \(\nu=\frac{1}{T}\approx1{,}3\) Гц.
277. \(v=5\) м/с, \(S=50\) м. \(l=\pi D=\pi\cdot0{,}66\approx2{,}07\) м. \(N=\frac{50}{2{,}07}\approx24\) оборота.
278. На горе: \(a=\frac{2S}{t^2}=\frac{120}{100}=1{,}2\) м/с²; \(v=at=12\) м/с. На повороте: \(a_{\text{ц}}=\frac{12^2}{200}=0{,}72\) м/с².
279. \(\varphi=2\pi\cdot40=80\pi\) рад. \(t=\frac{\varphi}{\omega}=\frac{80\pi}{8}=10\pi\approx31{,}4\) с.
Проверка. Главное — перевести все величины в СИ: минуты в секунды, км/ч в м/с, см в метры. Тогда формулы дают правильные размерности: \(v\) — м/с, \(a\) — м/с², \(T\) — с, \(\nu\) — Гц.
Обсуждение
2 сообщенияРеши задачи с дано и решением
Оформляю по школьной схеме «Дано — Решение — Ответ». Задачу 280 не решаю: в кадре видно только начало условия, полного текста нет.
Задача 263
Дано: тело движется криволинейно.
Найти: причину возникновения ускорения.
Решение.
Скорость — векторная величина. При криволинейном движении меняется направление скорости, значит, скорость изменяется, поэтому появляется ускорение. При равномерном движении по окружности это центростремительное ускорение, направленное к центру окружности:
\[
a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{r}.
\]
Ответ: ускорение возникает из-за изменения направления скорости; при движении по окружности оно направлено к её центру.
Задача 264
Дано: \[ 30^\circ,\quad 45^\circ,\quad 60^\circ,\quad 90^\circ. \] Найти: углы в радианах.
Решение. \[ \alpha_{\text{рад}}=\alpha^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}. \] \[ 30^\circ=\frac{\pi}{6}\approx0{,}52\text{ рад}; \] \[ 45^\circ=\frac{\pi}{4}\approx0{,}79\text{ рад}; \] \[ 60^\circ=\frac{\pi}{3}\approx1{,}05\text{ рад}; \] \[ 90^\circ=\frac{\pi}{2}\approx1{,}57\text{ рад}. \]
Ответ: \(0{,}52;\ 0{,}79;\ 1{,}05;\ 1{,}57\) рад.
Задача 265
Дано: \[ N=165,\quad t=300\text{ с},\quad r=0{,}15\text{ м}. \] Найти: \(T,\ \nu,\ v\).
Решение. \[ T=\frac{t}{N}=\frac{300}{165}\approx1{,}82\text{ с}. \] \[ \nu=\frac{1}{T}\approx\frac{1}{1{,}82}\approx0{,}55\text{ Гц}. \] Линейная скорость: \[ v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi\cdot0{,}15}{1{,}82}\approx0{,}52\text{ м/с}. \]
Ответ: \(T\approx1{,}82\) с; \(\nu\approx0{,}55\) Гц; \(v\approx0{,}52\) м/с.
Задача 266
Дано: \[ T=1\text{ ч}=3600\text{ с},\quad r=9\text{ мм}=0{,}009\text{ м}. \] Найти: \(v\).
Решение. \[ v=\frac{2\pi r}{T} =\frac{2\pi\cdot0{,}009}{3600} \approx1{,}6\cdot10^{-5}\text{ м/с}. \]
Ответ: \(v\approx1{,}6\cdot10^{-5}\) м/с.
Задача 267
Дано: \[ T=28\text{ сут}=28\cdot24\cdot3600=2{,}42\cdot10^6\text{ с}, \] \[ r=3{,}84\cdot10^8\text{ м}. \] Найти: \(v\).
Решение. \[ v=\frac{2\pi r}{T} =\frac{2\pi\cdot3{,}84\cdot10^8}{2{,}42\cdot10^6} \approx1{,}0\cdot10^3\text{ м/с}. \]
Ответ: \(v\approx1{,}0\cdot10^3\) м/с \(=1\) км/с.
Задача 268
Дано: \[ T=24\text{ ч}=86400\text{ с},\quad R=6{,}4\cdot10^6\text{ м}. \] Найти: \(v\) точки на экваторе.
Решение. \[ v=\frac{2\pi R}{T} =\frac{2\pi\cdot6{,}4\cdot10^6}{86400} \approx4{,}7\cdot10^2\text{ м/с}. \]
Ответ: \(v\approx470\) м/с.
Задача 269
Дано: \[ v=20\text{ м/с},\quad R=1000\text{ м}. \] Найти: \(a_{\text{ц}}\).
Решение. \[ a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{R} =\frac{20^2}{1000} =0{,}4\text{ м/с}^2. \]
Ответ: \(a_{\text{ц}}=0{,}4\) м/с², направлено к центру закругления.
Задача 270
Дано: \[ R=40\text{ м},\quad a_{\text{ц}}=\frac{g}{4},\quad g=10\text{ м/с}^2. \] Найти: \(v\).
Решение. \[ a_{\text{ц}}=\frac{10}{4}=2{,}5\text{ м/с}^2. \] \[ a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{R} \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{a_{\text{ц}}R}. \] \[ v=\sqrt{2{,}5\cdot40}=\sqrt{100}=10\text{ м/с}. \]
Ответ: \(v=10\) м/с.
Задача 271
Дано: \[ v=15\text{ м/с},\quad R=300\text{ м}. \] Найти: \(a_{\text{ц}}\).
Решение. \[ a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{R} =\frac{15^2}{300} =\frac{225}{300} =0{,}75\text{ м/с}^2. \]
Ответ: \(a_{\text{ц}}=0{,}75\) м/с².
Задача 272
Дано: \[ R=0{,}4\text{ м},\quad r_1=0{,}4\text{ м},\quad r_2=0{,}2\text{ м}. \] Найти: \(\frac{v_1}{v_2}\), \(\frac{a_1}{a_2}\).
Решение.
Точки вращаются вместе, поэтому их угловые скорости и периоды одинаковы:
\[
\omega_1=\omega_2.
\]
Линейная скорость:
\[
v=\omega r.
\]
Тогда
\[
\frac{v_1}{v_2}=\frac{r_1}{r_2}
=\frac{0{,}4}{0{,}2}=2.
\]
Центростремительное ускорение:
\[
a_{\text{ц}}=\omega^2 r,
\]
поэтому
\[
\frac{a_1}{a_2}=\frac{r_1}{r_2}=2.
\]
Ответ: линейная скорость и центростремительное ускорение точки на ободе в 2 раза больше, чем у точки на расстоянии \(0{,}2\) м от оси.
Задача 273
Дано: \[ N=3000,\quad t=16\text{ мин}=960\text{ с},\quad R=0{,}4\text{ м}. \] Найти: \(S,\ v\).
Решение.
Длина одного оборота:
\[
l=2\pi R=2\pi\cdot0{,}4\approx2{,}51\text{ м}.
\]
Путь:
\[
S=Nl=3000\cdot2{,}51\approx7530\text{ м}\approx7{,}5\text{ км}.
\]
Скорость:
\[
v=\frac{S}{t}
=\frac{7530}{960}
\approx7{,}8\text{ м/с}.
\]
Ответ: \(S\approx7{,}5\) км; \(v\approx7{,}8\) м/с \(\approx28\) км/ч.
Задача 274
Дано: \[ T_{\text{мин}}=1\text{ ч},\quad T_{\text{час}}=12\text{ ч},\quad r_{\text{мин}}=2r_{\text{час}}. \] Найти: \(\frac{v_{\text{мин}}}{v_{\text{час}}}\), \(\frac{a_{\text{мин}}}{a_{\text{час}}}\).
Решение. \[ v=\frac{2\pi r}{T}. \] Тогда \[ \frac{v_{\text{мин}}}{v_{\text{час}}} =\frac{r_{\text{мин}}}{r_{\text{час}}}\cdot \frac{T_{\text{час}}}{T_{\text{мин}}} =2\cdot12=24. \] Ускорение: \[ a=\omega^2r=\frac{4\pi^2r}{T^2}. \] \[ \frac{a_{\text{мин}}}{a_{\text{час}}} =\left(\frac{T_{\text{час}}}{T_{\text{мин}}}\right)^2 \cdot\frac{r_{\text{мин}}}{r_{\text{час}}} =12^2\cdot2=288. \]
Ответ: скорость конца минутной стрелки в 24 раза больше, ускорение — в 288 раз больше.
Задача 275
Дано: \[ \omega=270\text{ рад/с},\quad R=0{,}1\text{ м}. \] Найти: \(v\).
Решение. \[ v=\omega R=270\cdot0{,}1=27\text{ м/с}. \]
Ответ: \(v=27\) м/с.
Задача 276
Дано: \[ s=8\text{ м},\quad R=0{,}05\text{ м},\quad t=20\text{ с}. \] Найти: \(N,\ T,\ \nu\).
Решение.
Длина окружности колеса:
\[
l=2\pi R=2\pi\cdot0{,}05\approx0{,}314\text{ м}.
\]
Число оборотов:
\[
N=\frac{s}{l}
=\frac{8}{0{,}314}
\approx25{,}5.
\]
Период:
\[
T=\frac{t}{N}
=\frac{20}{25{,}5}
\approx0{,}78\text{ с}.
\]
Частота:
\[
\nu=\frac{1}{T}\approx1{,}3\text{ Гц}.
\]
Ответ: \(N\approx25{,}5\) оборота; \(T\approx0{,}78\) с; \(\nu\approx1{,}3\) Гц.
Задача 277
Дано: \[ v=5\text{ м/с},\quad S=50\text{ м},\quad D=0{,}66\text{ м}. \] Найти: \(N\).
Решение.
Длина окружности колеса:
\[
l=\pi D=\pi\cdot0{,}66\approx2{,}07\text{ м}.
\]
Число оборотов:
\[
N=\frac{S}{l}
=\frac{50}{2{,}07}
\approx24{,}1.
\]
Ответ: примерно \(24\) полных оборота.
Задача 278
Дано: \[ S=60\text{ м},\quad t=10\text{ с},\quad R=200\text{ м},\quad v_0=0. \] Найти: \(a,\ v,\ a_{\text{ц}}\).
Решение.
При равноускоренном движении из состояния покоя:
\[
S=\frac{at^2}{2}.
\]
Отсюда
\[
a=\frac{2S}{t^2}
=\frac{2\cdot60}{10^2}
=\frac{120}{100}
=1{,}2\text{ м/с}^2.
\]
Скорость:
\[
v=at=1{,}2\cdot10=12\text{ м/с}.
\]
Центростремительное ускорение на повороте:
\[
a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{R}
=\frac{12^2}{200}
=\frac{144}{200}
=0{,}72\text{ м/с}^2.
\]
Ответ: \(a=1{,}2\) м/с²; \(v=12\) м/с; \(a_{\text{ц}}=0{,}72\) м/с².
Задача 279
Дано: \[ \omega=8\text{ рад/с},\quad N=40\text{ оборотов}. \] Найти: \(t\).
Решение.
Один оборот — это \(2\pi\) радиан, поэтому
\[
\varphi=2\pi N=2\pi\cdot40=80\pi\text{ рад}.
\]
Время:
\[
t=\frac{\varphi}{\omega}
=\frac{80\pi}{8}
=10\pi\approx31{,}4\text{ с}.
\]
Ответ: \(t\approx31{,}4\) с.
Итог: задачи 263–279 оформлены с «Дано», решением и ответом. Для задачи 280 нужен полный текст условия — в кадре его нет.
