Задание № 1 Медианы AM, BK и CP треугольника ABC пересекаются в точке T. При этом AC = 3TB. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Задание № 1 Медианы \(AM\), \(BK\) и \(CP\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(T\). При этом \(AC = 3TB\). а) Докажите, что треугольник \(ABC\) прямоугольный. б) Найдите отношение площади треугольника \(CKT\) к площади четырёхугольника \(MBPT\). ПОДСКАЗКА
- Вспомни что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в определённом отношении. Затем вспомни обратное свойство медианы прямоугольного треугольника.
- Попробуй выразить площади \(\triangle CKT\) и четырёхугольника \(MBPT\) через площадь \(\triangle ABC\). Или примени свойство медиан, которые разбивают \(\triangle ABC\) на 6 равновеликих треугольников. Определи, каким из них является \(\triangle CKT\) и из каких двух таких треугольников состоит четырёхугольник \(MBPT\) — тогда отношение площадей находится сразу.
Краткий ответ
а) Треугольник \(ABC\) прямоугольный, причём \(\angle ABC=90^\circ\).
б) \[ \frac{S_{CKT}}{S_{MBPT}}=\frac12, \] то есть площади относятся как \(1:2\).
а) Почему угол \(B\) прямой
Точка \(T\) — точка пересечения медиан, то есть центроид. Она делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому для медианы \(BK\):
\[ BT:TK=2:1 \quad\Rightarrow\quad BT=\frac23 BK. \]
По условию:
\[ AC=3TB=3\cdot\frac23 BK=2BK. \]
Значит,
\[ BK=\frac{AC}{2}. \]
Но \(K\) — середина \(AC\), поэтому
\[ AK=KC=\frac{AC}{2}=BK. \]
Точка \(K\) одинаково удалена от \(A\), \(B\) и \(C\). Значит, \(B\) лежит на окружности с диаметром \(AC\), а угол \(ABC\) опирается на диаметр. Следовательно,
\[ \angle ABC=90^\circ. \]
б) Отношение площадей
Пусть площадь всего треугольника \(ABC\) равна \(S\).
Медианы разбивают треугольник на 6 равновеликих треугольников, поэтому площадь каждого из них равна \(\dfrac S6\).
В частности,
\[ S_{CKT}=\frac S6. \]
Четырёхугольник \(MBPT\) состоит из двух таких маленьких треугольников:
\[ S_{MBPT}=S_{BMT}+S_{BPT}=\frac S6+\frac S6=\frac S3. \]
Тогда
\[ \frac{S_{CKT}}{S_{MBPT}} = \frac{S/6}{S/3} = \frac12. \]
Проверка. В пункте б условие \(AC=3TB\) уже не нужно: свойство шести равновеликих треугольников выполняется для любых медиан. Оно нужно было только в пункте а.
Обсуждение
3 сообщенияА можно не краткий ответ
Разберу подробно. Обозначения беру по рисунку: \(K\) — середина \(AC\), \(BK\) — медиана; \(T\) — точка пересечения медиан. Для определённости пусть \(M\) — середина \(AB\), \(P\) — середина \(BC\). Если на вашем рисунке \(M\) и \(P\) подписаны наоборот, можно просто поменять их местами — на решение это не влияет.
а) Доказательство того, что \(\angle ABC=90^\circ\)
Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому для медианы \(BK\):
\[ BT:TK=2:1. \]
Значит,
\[ BT=\frac23 BK,\qquad TK=\frac13 BK. \]
По условию:
\[ AC=3TB. \]
Подставим \(TB=\frac23 BK\):
\[ AC=3\cdot \frac23 BK=2BK. \]
Отсюда
\[ BK=\frac{AC}{2}. \]
Но \(K\) — середина \(AC\), поэтому
\[ AK=KC=\frac{AC}{2}. \]
Следовательно,
\[ KA=KB=KC. \]
То есть точки \(A\), \(B\) и \(C\) находятся на одинаковом расстоянии от точки \(K\). Значит, \(K\) — центр окружности, проходящей через \(A\), \(B\) и \(C\), а \(AC\) — диаметр этой окружности.
Угол \(ABC\) опирается на диаметр \(AC\), поэтому по теореме Фалеса
\[ \angle ABC=90^\circ. \]
Можно сформулировать иначе: если медиана, проведённая к стороне треугольника, равна половине этой стороны, то угол, лежащий против неё, прямой.
б) Отношение площадей
Обозначим площадь всего треугольника \(ABC\) через \(S\):
\[ S_{ABC}=S. \]
Сначала найдём площади трёх нужных маленьких треугольников: \(BMT\), \(BPT\) и \(CKT\).
1. Площадь треугольника \(BMT\)
Точка \(M\) — середина \(AB\), поэтому
\[ BM=\frac{AB}{2}. \]
Точка \(T\) лежит на медиане \(CM\). По свойству точки пересечения медиан:
\[ CT:TM=2:1, \]
то есть
\[ TM=\frac13 CM. \]
Значит, расстояние от точки \(T\) до прямой \(AB\) в три раза меньше расстояния от точки \(C\) до прямой \(AB\). Обозначим высоту треугольника \(ABC\), проведённую из \(C\) к стороне \(AB\), через \(h_C\). Тогда высота треугольника \(BMT\), проведённая из \(T\) к \(BM\), равна \(\frac{h_C}{3}\).
Следовательно,
\[ S_{BMT} = \frac12\cdot BM\cdot \frac{h_C}{3} = \frac12\cdot \frac{AB}{2}\cdot \frac{h_C}{3} = \frac{1}{12}AB\cdot h_C. \]
Но
\[ S=\frac12 AB\cdot h_C, \]
поэтому
\[ S_{BMT}=\frac{S}{6}. \]
2. Площадь треугольника \(BPT\)
Аналогично, \(P\) — середина \(BC\), значит,
\[ BP=\frac{BC}{2}. \]
Точка \(T\) лежит на медиане \(AP\), причём
\[ AT:TP=2:1, \]
то есть
\[ TP=\frac13 AP. \]
Поэтому расстояние от \(T\) до прямой \(BC\) равно одной трети высоты треугольника \(ABC\), проведённой из \(A\) к \(BC\). Обозначим эту высоту через \(h_A\). Тогда
\[ S_{BPT} = \frac12\cdot BP\cdot \frac{h_A}{3} = \frac12\cdot \frac{BC}{2}\cdot \frac{h_A}{3} = \frac{1}{12}BC\cdot h_A. \]
Так как
\[ S=\frac12 BC\cdot h_A, \]
получаем
\[ S_{BPT}=\frac{S}{6}. \]
3. Площадь треугольника \(CKT\)
Точка \(K\) — середина \(AC\), поэтому
\[ CK=\frac{AC}{2}. \]
Точка \(T\) лежит на медиане \(BK\), причём
\[ BT:TK=2:1, \]
значит,
\[ TK=\frac13 BK. \]
Поэтому расстояние от \(T\) до прямой \(AC\) равно одной трети высоты треугольника \(ABC\), проведённой из \(B\) к \(AC\). Обозначим эту высоту через \(h_B\). Тогда
\[ S_{CKT} = \frac12\cdot CK\cdot \frac{h_B}{3} = \frac12\cdot \frac{AC}{2}\cdot \frac{h_B}{3} = \frac{1}{12}AC\cdot h_B. \]
Но
\[ S=\frac12 AC\cdot h_B, \]
следовательно,
\[ S_{CKT}=\frac{S}{6}. \]
Итак, все три треугольника имеют одинаковую площадь:
\[ S_{CKT}=S_{BMT}=S_{BPT}=\frac{S}{6}. \]
Теперь найдём площадь четырёхугольника \(MBPT\). Диагональ \(BT\) разбивает его на треугольники \(BMT\) и \(BPT\), поэтому
\[ S_{MBPT}=S_{BMT}+S_{BPT}. \]
Подставляем:
\[ S_{MBPT}=\frac{S}{6}+\frac{S}{6}=\frac{S}{3}. \]
Осталось найти отношение:
\[ \frac{S_{CKT}}{S_{MBPT}} = \frac{S/6}{S/3} = \frac12. \]
То есть
\[ S_{CKT}:S_{MBPT}=1:2. \]
Ответ
а) Треугольник \(ABC\) прямоугольный, причём
\[ \angle ABC=90^\circ. \]
б) Площади относятся как
\[ S_{CKT}:S_{MBPT}=1:2, \]
то есть площадь треугольника \(CKT\) в два раза меньше площади четырёхугольника \(MBPT\).
