К-1 Уровень 2 Вариант 1 (задания) 1. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
К-1 Уровень 2 Вариант 1 (задания)
- Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.
- Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каждая из них делит угол прямоугольника в отношении 4 :
- Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон.
- В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, \(\angle ADB = \angle BDC = 30^\circ\). Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.
- В параллелограмме ABCD биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что A – B – K, D – C – P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂, \(M_1M_2 = 8\) см. Найдите AD.
Ответы:
- \(10\) см и \(15\) см.
- \(80^\circ\) (углы при пересечении диагоналей: \(80^\circ\) и \(100^\circ\)).
- \(45^\circ,\ 135^\circ,\ 45^\circ,\ 135^\circ\).
- \(AD=24\) см.
- \(AD=8\) см.
Как это получается
Пусть меньшая сторона \(x\) см, тогда другая \(x+5\) см. Противоположные стороны параллелограмма равны: \[ 2(x+x+5)=50. \] Отсюда \(2x+5=25\), \(x=10\). Стороны: \(10\) см и \(15\) см.
Диагональ делит прямой угол в отношении \(4:5\), то есть на \(40^\circ\) и \(50^\circ\). Пусть \(\alpha\) — угол между диагональю и стороной. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому треугольник, образованный стороной и половинами диагоналей, равнобедренный. Один из углов между диагоналями равен \(180^\circ-2\alpha\), смежный — \(2\alpha\). При \(\alpha=40^\circ\) или \(50^\circ\) меньший угол получается \(80^\circ\).
Пусть диагональ \(BD\) перпендикулярна стороне \(AD\) (второй случай аналогичен). Тогда \(\triangle ABD\) прямоугольный с гипотенузой \(AB\). Диагональ не может равняться гипотенузе, значит, \(BD=AD\). Получился равнобедренный прямоугольный треугольник, его острые углы по \(45^\circ\). Углы параллелограмма: \(45^\circ\) и \(135^\circ\).
Так как \(AD\parallel BC\), то \(\angle DBC=\angle ADB=30^\circ\). В треугольнике \(BCD\) углы при \(B\) и \(D\) равны, поэтому \(BC=CD=x\). Тогда угол \(C=120^\circ\), и \[ BD=x\sqrt3. \] В прямоугольном \(\triangle ABD\) с углом \(30^\circ\): \[ AB=\frac{AD}{2},\qquad BD=\frac{AD\sqrt3}{2}. \] Значит, \(x=\frac{AD}{2}\). Периметр: \[ AD+\frac{AD}{2}+\frac{AD}{2}+\frac{AD}{2}=60, \] то есть \(\frac52 AD=60\), откуда \(AD=24\) см.
В треугольнике \(BM_1C\): \[ \angle M_1BC=\frac12\angle ABC,\qquad \angle M_1CB=\frac12\angle BCD. \] Сумма этих углов равна \(90^\circ\), поэтому \(\angle BM_1C=90^\circ\).
Углы \(ABC\) и \(KBC\) смежные, значит, их биссектрисы \(BM_1\) и \(BM_2\) перпендикулярны. Аналогично \(CM_1\perp CM_2\). Поэтому в четырёхугольнике \(BM_1CM_2\) три угла прямые — это прямоугольник. Его диагонали равны: \[ BC=M_1M_2=8\text{ см}. \] А в параллелограмме \(AD=BC\), поэтому \[ AD=8\text{ см}. \]
Обсуждение
4 сообщенияА какой должен быть чертёж для 3 задачи?
Для 3-й задачи удобно рисовать параллелограмм \(ABCD\), у которого диагональ \(BD\) перпендикулярна стороне \(AD\) и равна ей:
C
/|
/ |
D··B BD — диагональ
| /
|/
A
Как построить:
- Нарисуй вертикальный отрезок \(AD\).
- Из точки \(D\) проведи горизонтальный отрезок \(DB\) так, чтобы \(DB=AD\).
- Дострой параллелограмм: через \(B\) проведи прямую, параллельную \(AD\), а через \(A\) — прямую, параллельную \(BD\). Их пересечение с нужными вершинами даст \(C\).
- Соедини \(A\) с \(B\), \(B\) с \(C\), \(C\) с \(D\).
- Отметь прямой угол при вершине \(D\) между \(AD\) и \(BD\).
- Поставь одинаковые засечки на \(AD\) и \(BD\) — они равны.
Тогда \(\triangle ABD\) — прямоугольный и равнобедренный, поэтому \(\angle DAB=45^\circ\). Значит, углы параллелограмма: \[ 45^\circ,\quad 135^\circ,\quad 45^\circ,\quad 135^\circ. \]
Важно: \(AB\) — гипотенуза, она не равна диагонали \(BD\); равными отмечаем именно \(AD\) и \(BD\).
Можешь расписать каждую задачу по дано найти решение
Ниже оформление по схеме «Дано — Найти — Решение». В задаче 4 исправляю прошлый ответ: при условии \(BD\perp AB\) и \(\angle ADB=30^\circ\) получается \(AD=20\) см, а не 24 см.
Задача 1
Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм,
\(P=50\) см,
одна сторона на \(5\) см больше другой.
Найти:
стороны параллелограмма.
Решение:
Пусть меньшая сторона равна \(x\) см, тогда большая — \(x+5\) см.
\[ 2\bigl(x+(x+5)\bigr)=50 \]
\[ 2(2x+5)=50 \]
\[ 2x+5=25 \]
\[ x=10 \]
Тогда большая сторона:
\[ x+5=15 \]
Ответ: \(10\) см и \(15\) см.
Задача 2
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольник,
диагональ делит угол прямоугольника в отношении \(4:5\).
Найти:
углы между диагоналями.
Решение:
Угол прямоугольника равен \(90^\circ\). Пусть части относятся как \(4:5\), тогда:
\[ 4k+5k=90^\circ \]
\[ 9k=90^\circ \]
\[ k=10^\circ \]
Значит, диагональ делит угол на:
\[ 40^\circ \quad \text{и} \quad 50^\circ \]
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому:
\[ AO=BO \]
Значит, треугольник \(AOB\) равнобедренный. Угол при вершине \(A\) равен \(40^\circ\), значит, и угол при вершине \(B\) равен \(40^\circ\).
Тогда:
\[ \angle AOB=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ \]
Смежный с ним угол:
\[ 180^\circ-100^\circ=80^\circ \]
Ответ: углы между диагоналями \(80^\circ\) и \(100^\circ\); меньший из них — \(80^\circ\).
Задача 3
Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм,
диагональ \(BD\perp AD\),
\(BD=AD\).
Найти:
углы параллелограмма.
Решение:
В треугольнике \(ABD\) угол при вершине \(D\) прямой, так как \(BD\perp AD\). При этом \(BD=AD\), значит, прямоугольный треугольник \(ABD\) равнобедренный.
Тогда его острые углы равны по \(45^\circ\):
\[ \angle DAB=\angle ABD=45^\circ \]
Значит, угол параллелограмма при вершине \(A\) равен \(45^\circ\). Соседний угол:
\[ 180^\circ-45^\circ=135^\circ \]
Противоположные углы параллелограмма равны.
Ответ:
\[
45^\circ,\quad 135^\circ,\quad 45^\circ,\quad 135^\circ
\]
Задача 4
Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм,
\(BD\perp AB\),
\(\angle ADB=30^\circ\),
\(P=60\) см.
Найти:
сторону \(AD\).
Решение:
В прямоугольном треугольнике \(ABD\):
\[ \angle ADB=30^\circ \]
Гипотенуза — \(AD\), а против угла \(30^\circ\) лежит катет \(AB\). Поэтому:
\[ AB=\frac{AD}{2} \]
В параллелограмме противоположные стороны равны:
\[ CD=AB=\frac{AD}{2}, \qquad BC=AD \]
Периметр:
\[ P=AD+AB+BC+CD \]
\[ 60=AD+\frac{AD}{2}+AD+\frac{AD}{2} \]
\[ 60=3AD \]
\[ AD=20 \]
Ответ: \(AD=20\) см.
Задача 5
Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм.
Биссектрисы внутренних углов \(B\) и \(C\) пересекаются в точке \(M_1\),
биссектрисы внешних углов \(B\) и \(C\) — в точке \(M_2\).
\[
M_1M_2=8
\]
Найти:
\(AD\).
Решение:
Обозначим углы параллелограмма:
\[ \angle ABC=\beta, \qquad \angle BCD=\gamma \]
В параллелограмме соседние углы в сумме дают \(180^\circ\):
\[ \beta+\gamma=180^\circ \]
В треугольнике \(BM_1C\):
\[ \angle M_1BC=\frac{\beta}{2}, \qquad \angle M_1CB=\frac{\gamma}{2} \]
Тогда:
\[ \angle M_1BC+\angle M_1CB=\frac{\beta+\gamma}{2}=90^\circ \]
Значит:
\[ \angle BM_1C=180^\circ-90^\circ=90^\circ \]
Кроме того, внутренняя и внешняя биссектрисы одного угла перпендикулярны, поэтому:
\[ BM_1\perp BM_2, \qquad CM_1\perp CM_2 \]
Значит, в четырёхугольнике \(BM_1CM_2\) углы при вершинах \(M_1\), \(B\) и \(C\) прямые. Следовательно, это прямоугольник.
В прямоугольнике диагонали равны:
\[ BC=M_1M_2=8 \]
А в параллелограмме противоположные стороны равны:
\[ AD=BC \]
Следовательно:
\[ AD=8 \]
Ответ: \(AD=8\) см.
