Вариант 1 К—3 (§ 5) 1. Решите уравнение: а) x³ − 81x = 0; б) (x² + 1)/5 − (x + 1)/4 = 1.

Краткие ответы

1. а) \(x=-9;\ 0;\ 9\); б) \(x=-1{,}75;\ 3\).
2. \(x=\pm 4;\ \pm\sqrt{3}\).
3. \(a=-3\) и \(a=3\).
4. а) \(y=-1;\ 2\); б) \(x=-6;\ 3\).
5. \((1;\ -1)\) и \((0{,}4;\ -0{,}04)\).

Ключевые шаги

№ 1а. Выносим общий множитель, затем раскладываем разность квадратов: \[x^3-81x=0 \Leftrightarrow x(x^2-81)=0 \Leftrightarrow x(x-9)(x+9)=0.\] Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель.

№ 1б. Умножаем обе части на 20 — наименьшее общее кратное знаменателей: \[4(x^2+1)-5(x+1)=20 \Rightarrow 4x^2-5x-21=0,\] \[D=25+4\cdot 4\cdot 21=361=19^2,\quad x_{1,2}=\frac{5\pm 19}{8}.\] Отсюда \(x_1=3\), \(x_2=-\frac{14}{8}=-1{,}75\).

Проверка: при \(x=3\): \(\frac{10}{5}-\frac{4}{4}=2-1=1\) — верно; при \(x=-1{,}75\): \(\frac{3{,}0625+1}{5}-\frac{-0{,}75}{4}=0{,}8125+0{,}1875=1\) — верно.

№ 2. Биквадратное уравнение решается заменой \(t=x^2\), причём \(t\ge 0\): \[t^2-19t+48=0,\quad D=361-192=169=13^2,\] \[t_1=16,\quad t_2=3.\] Оба значения неотрицательны, значит \(x^2=16\) даёт \(x=\pm 4\), а \(x^2=3\) даёт \(x=\pm\sqrt{3}\).

№ 3. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Группируем числитель: \[a^3-2a^2-9a+18=a^2(a-2)-9(a-2)=(a-2)(a-3)(a+3).\] Знаменатель: \(a^2-4=(a-2)(a+2)\), поэтому \(a\ne \pm 2\). Нули числителя — \(a=2;\ 3;\ -3\), но \(a=2\) обращает знаменатель в нуль. Остаются \(a=-3\) и \(a=3\).

№ 4а. ОДЗ: \(y\ne 0\), \(y\ne \pm\frac{1}{4}\), поскольку \(4y^2+y=y(4y+1)\), \(16y^2-1=(4y-1)(4y+1)\). Приводим к общему знаменателю \(y(4y-1)(4y+1)\) и приравниваем числители: \[(3y+2)(4y-1)+y(y-3)=3y(4y+1),\] \[12y^2+5y-2+y^2-3y=12y^2+3y \Rightarrow y^2-y-2=0,\] \[y=2 \text{ или } y=-1.\] Оба значения входят в ОДЗ; проверка подстановкой: при \(y=2\) слева \(\frac{8}{18}-\frac{1}{63}=\frac{27}{63}=\frac{3}{7}\), справа \(\frac{3}{7}\); при \(y=-1\) обе части равны \(-\frac{3}{5}\).

№ 4б. Одинаковые скобки подсказывают замену \(t=x^2+3x\): \[(t+1)(t-9)=171 \Rightarrow t^2-8t-180=0,\quad D=64+720=784=28^2,\] \[t=18 \text{ или } t=-10.\]

1. \(x^2+3x-18=0 \Rightarrow x=3\) или \(x=-6\).
2. \(x^2+3x+10=0 \Rightarrow D=9-40=-31<0\) — корней нет.

Проверка: при \(x=3\) и \(x=-6\) обе скобки равны 19 и 9, произведение 171.

№ 5. В точках пересечения правые части равны, причём \(x\ne 2\): \[\frac{x^3}{x-2}=x^2-3x+1 \Rightarrow x^3=(x^2-3x+1)(x-2)=x^3-5x^2+7x-2,\] \[5x^2-7x+2=0,\quad D=49-40=9,\quad x=1 \text{ или } x=0{,}4.\] Оба значения допустимы. Тогда \(y(1)=\frac{1}{-1}=-1\), а \(y(0{,}4)=\frac{0{,}064}{-1{,}6}=-0{,}04\). Проверка по формуле параболы: \(1-3+1=-1\) и \(0{,}16-1{,}2+1=-0{,}04\) — совпало.

Что запомнить: в произведениях ищи общий множитель и раскладывай на скобки; «похожие» скобки заменяй новой переменной; в дробных уравнениях сначала выписывай ОДЗ, потом общий знаменатель, а найденные корни сверяй с ОДЗ.