Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 13√3/2. Найдите сторону этого треугольника.

На фото два однотипных номера. Для верхнего (№ 6) ответ: 39. Для нижнего (№ 7): 33.

Как это получается

В правильном треугольнике со стороной \(a\) высота равна

\[ h=\frac{a\sqrt3}{2}. \]

Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан. Поэтому радиус вписанной окружности составляет треть высоты:

\[ r=\frac{h}{3}=\frac{a\sqrt3}{6}. \]

Отсюда выражаем сторону:

\[ a=\frac{6r}{\sqrt3}=2\sqrt3\,r. \]

Подставляем радиус:

\[ a=2\sqrt3\cdot \frac{13\sqrt3}{2} =13\cdot 3 =39. \]

Для нижнего номера:

\[ a=2\sqrt3\cdot \frac{11\sqrt3}{2} =11\cdot 3 =33. \]

Проверка:

\[ \frac{39\sqrt3}{6}=\frac{13\sqrt3}{2},\qquad \frac{33\sqrt3}{6}=\frac{11\sqrt3}{2}. \]

Всё сходится.