Гипербола
Сверь числа и знаки с фото.
\(y = -\frac{2}{x}\)
\(y = \frac{3}{x}\)
\(y = -\frac{4}{x}\)
\(y = \frac{6}{x}\)
Краткий ответ
Все четыре записи — это гиперболы вида
\[ y=\frac{k}{x},\qquad k\ne 0,\qquad x\ne 0. \]
Вот их коэффициенты и расположение ветвей:
| Функция | \(k\) | Четверти | Примеры точек |
|---|---|---|---|
| \(y=-\frac{2}{x}\) | \(-2\) | II и IV | \((1;-2)\), \((2;-1)\), \((-1;2)\), \((-2;1)\) |
| \(y=\frac{3}{x}\) | \(3\) | I и III | \((1;3)\), \((3;1)\), \((-1;-3)\), \((-3;-1)\) |
| \(y=-\frac{4}{x}\) | \(-4\) | II и IV | \((1;-4)\), \((2;-2)\), \((-1;4)\), \((-2;2)\) |
| \(y=\frac{6}{x}\) | \(6\) | I и III | \((1;6)\), \((2;3)\), \((3;2)\), \((6;1)\) |
Почему так
Смотри на знак \(k\):
- если \(k>0\), то при \(x>0\) получаем \(y>0\) — это I четверть, а при \(x<0\) получаем \(y<0\) — III четверть;
- если \(k<0\), то при \(x>0\) получаем \(y<0\) — IV четверть, а при \(x<0\) получаем \(y>0\) — II четверть.
Поэтому у \(y=\frac{3}{x}\) и \(y=\frac{6}{x}\) ветви в I и III четвертях, а у \(y=-\frac{2}{x}\) и \(y=-\frac{4}{x}\) — во II и IV.
Оси координат являются асимптотами: график приближается к ним, но не пересекает. В точке \(x=0\) функция не определена, поэтому две ветви нельзя соединять через начало координат.
Как построить похожий график
- Определи знак \(k\) — от него зависят четверти.
- Составь таблицу точек. Удобно брать \(x\), равные делителям \(k\), например для \(y=\frac{6}{x}\): \(x=1,2,3,6,-1,-2,-3,-6\).
- Отметь точки и соедини их плавной линией отдельно в каждой четверти.
- Помни, что ветви симметричны относительно начала координат: если есть точка \((a;b)\), то есть и \((-a;-b)\).
Проверка
Возьмём точку \((3;1)\) для \(y=\frac{3}{x}\):
\[ \frac{3}{3}=1 \]
— верно.
Для \(y=-\frac{2}{x}\) точка \((-1;2)\):
\[ -\frac{2}{-1}=2 \]
— тоже верно.
Ещё полезно сравнить: \(|6|>|3|\), поэтому ветви \(y=\frac{6}{x}\) лежат дальше от осей, чем ветви \(y=\frac{3}{x}\). Аналогично \(|-4|>|-2|\), поэтому \(y=-\frac{4}{x}\) дальше от осей, чем \(y=-\frac{2}{x}\).
