2. Представьте в виде дроби: а) ((x+y)/(x−y) − (x−y)/(x+y)) : xy/(x²−y²)

Кратко

На фото обведены пункт 2) а) из предыдущего номера и пункты а), б) задания «2. Представьте в виде дроби». Ответы:

1. \(\dfrac{a^2-x^2}{b^2-16}\cdot\dfrac{b+4}{a-x}+\dfrac{x}{4-b}=\dfrac{a}{b-4}\);
2. а) \(\left(\dfrac{x+y}{x-y}-\dfrac{x-y}{x+y}\right):\dfrac{xy}{x^2-y^2}=4\);
3. б) \(\left(\dfrac{a}{a-5}-\dfrac{a}{a+5}-\dfrac{a^2+25}{25-a^2}\right)\cdot\dfrac{a-5}{a^2+10a+25}=\dfrac{1}{a+5}\).

Три приёма, на которых всё держится

• разность квадратов: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) — именно она даёт сокращение;
• общий знаменатель, а деление заменяем умножением на обратную дробь;
• «скрытый минус»: \(4-b=-(b-4)\), \(25-a^2=-(a^2-25)\). Минус перед дробью меняет знак у всей дроби, а не у первого слагаемого.

1) Раскладываем числитель и знаменатель: \[ \frac{a^2-x^2}{b^2-16}\cdot\frac{b+4}{a-x}=\frac{(a-x)(a+x)}{(b-4)(b+4)}\cdot\frac{b+4}{a-x}=\frac{a+x}{b-4}. \] Так как \(\dfrac{x}{4-b}=-\dfrac{x}{b-4}\), то \[ \frac{a+x}{b-4}-\frac{x}{b-4}=\frac{a}{b-4}. \]

2 а) В скобках общий знаменатель \(x^2-y^2\): \[ \frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{x^2-y^2}=\frac{4xy}{x^2-y^2}. \] Деление — это умножение на перевёрнутую дробь: \[ \frac{4xy}{x^2-y^2}\cdot\frac{x^2-y^2}{xy}=4. \]

2 б) Первые две дроби приводим к знаменателю \(a^2-25\): \[ \frac{a(a+5)-a(a-5)}{a^2-25}=\frac{10a}{a^2-25}. \] Третья дробь: \(-\dfrac{a^2+25}{25-a^2}=+\dfrac{a^2+25}{a^2-25}\). Складываем: \[ \frac{10a+a^2+25}{a^2-25}=\frac{(a+5)^2}{(a-5)(a+5)}=\frac{a+5}{a-5}. \] Умножаем на \(\dfrac{a-5}{(a+5)^2}\): \[ \frac{a+5}{a-5}\cdot\frac{a-5}{(a+5)^2}=\frac{1}{a+5}. \]

Проверка подстановкой (я проверил так каждую строку):

• 1. при \(a=2,\ x=1,\ b=0\): слева \(\frac{3}{-16}\cdot4+\frac14=-\frac12\), справа \(\frac{2}{-4}=-\frac12\);
• 2 а) при \(x=2,\ y=1\): \(\left(3-\frac13\right):\frac23=\frac83\cdot\frac32=4\);
• 2 б) при \(a=1\): скобка \(-\frac14-\frac16-\frac{26}{24}=-\frac32\), умножаем на \(-\frac{4}{36}\), выходит \(\frac16=\frac{1}{1+5}\).

Ограничения: \(b\ne\pm4,\ a\ne x\) (в 1); \(x\ne\pm y,\ xy\ne0\) (в 2 а); \(a\ne5,\ a\ne-5\) (в 2 б) — при этих значениях дроби не имеют смысла, это тоже часть ответа.