Реши примеры алгебра

На фото три номера — 1210, 1211 и 1212. Ниже краткие ответы и разбор правил, чтобы ты смог решать похожие задания сам.

Краткие ответы

1210 а) \(a^2b^2\); б) \(x^6y^{-2}\); в) \(4096a^{36}b^{-60}\); г) \(4m^{10}n^{-6}\); д) \(27p^6q^{-6}\); е) \(-\frac{1}{8}x^{-9}y^{12}\).

1211 а) \(\frac{1}{6}a^5b^{-1}\); б) \(\frac{16}{9}a^2b^6\); в) \(\frac{100}{9}x^{10}y^{-8}\); г) \(\frac{8}{7}p^6q^{-1}\).

1212 а) \((0,1x^{-1})^4\); б) \((2y^{-1})^5\); в) \((0,3a^2b^{-3})^4\); г) \((10x^{-2}y^3)^n\).

Правила, которые здесь работают

1. Степень произведения: \((ab)^n=a^n b^n\).
2. Степень степени: \((a^m)^n=a^{mn}\) — показатели перемножаются.
3. Отрицательный показатель: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), поэтому множитель как бы «переворачивается».
4. Числа удобно записывать степенями: \[ 0,5=\frac12=2^{-1},\quad 32=2^5,\quad 0,0001=10^{-4}=(0,1)^4,\quad 0,0081=0,3^4. \]

Разбор

1210. Раскрываем скобки

а) \((a^{-1}b^{-1})^{-2}=a^{(-1)\cdot(-2)}b^{(-1)\cdot(-2)}=a^2b^2\).

в) \((0,5a^{-3}b^5)^{-12}=0,5^{-12}a^{36}b^{-60}\).
Считаем коэффициент: \(0,5^{-12}=(\frac12)^{-12}=2^{12}=4096\).
Ответ: \(4096a^{36}b^{-60}\).

д) \((\frac13 p^{-2}q^2)^{-3}=(\frac13)^{-3}p^{6}q^{-6}=27p^6q^{-6}\).

Остальные пункты 1210 устроены так же:
б) \((x^3y^{-1})^2=x^6y^{-2}\);
г) \((-2m^5n^{-3})^2=4m^{10}n^{-6}\);
е) \((-0,5x^{-3}y^4)^3=(-0,5)^3x^{-9}y^{12}=-\frac18x^{-9}y^{12}\).

1211. Обращаем выражение

а) \((6a^{-5}b)^{-1}=6^{-1}a^5b^{-1}=\frac16a^5b^{-1}\).
Здесь \(a^{-5}\) в степени \(-1\) даёт \(a^5\), а \(b\) в степени \(-1\) даёт \(b^{-1}\).

б) \((\frac34a^{-1}b^{-3})^{-2}=(\frac34)^{-2}a^2b^6=(\frac43)^2a^2b^6=\frac{16}{9}a^2b^6\).

в) \((-0,3x^{-5}y^4)^{-2}=(-0,3)^{-2}x^{10}y^{-8}\).
Так как \((-0,3)^{-2}=(\frac{10}{3})^2=\frac{100}{9}\), получаем \(\frac{100}{9}x^{10}y^{-8}\). Минус исчез: показатель чётный.

г) \((\frac78p^{-6}q)^{-1}=\frac87p^6q^{-1}\).

1212. Сворачиваем в степень произведения

а) \(0,0001x^{-4}=(0,1)^4(x^{-1})^4=(0,1x^{-1})^4\).
Проверка: \((0,1)^4=0,0001\), \((x^{-1})^4=x^{-4}\).
Эквивалентный ответ: \((10x)^{-4}\), потому что \(10^{-4}=0,0001\).

б) \(32y^{-5}=2^5(y^{-1})^5=(2y^{-1})^5\).

в) \(0,0081a^8b^{-12}=(0,3)^4(a^2)^4(b^{-3})^4=(0,3a^2b^{-3})^4\).
Проверка: \(0,3^4=0,0081\), \(a^{2\cdot4}=a^8\), \(b^{-3\cdot4}=b^{-12}\).

г) \(10^n x^{-2n} y^{3n}=(10x^{-2}y^3)^n\).
Здесь \(n\) — общий показатель: по свойству степени произведения каждый множитель возводится в степень \(n\).

Проверка

Обратное раскрытие скобок возвращает исходное выражение. Например, в 1212 в): \[ (0,3a^2b^{-3})^4=0,3^4a^8b^{-12}=0,0081a^8b^{-12}. \] В 1210 в): \[ 4096a^{36}b^{-60}=2^{12}a^{36}b^{-60} =\left(\frac12\right)^{-12}a^{-3\cdot(-12)}b^{5\cdot(-12)} =(0,5a^{-3}b^5)^{-12}. \] Всё сходится.