При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
- \(\frac{9}{y}\);
- \(\frac{x+7}{x+9}\);
- \(\frac{m-1}{m^2-9}\);
- \(\frac{x}{|x|-3}\);
- \(\frac{4}{x-8}+\frac{1}{x-1}\);
- \(\frac{2x-3}{(x+2)(x-10)}\)?
Краткий ответ:
- \(y\neq 0\);
- \(x\neq -9\);
- \(m\neq -3\) и \(m\neq 3\);
- \(x\neq -3\) и \(x\neq 3\);
- \(x\neq 1\) и \(x\neq 8\);
- \(x\neq -2\) и \(x\neq 10\).
Все остальные значения переменных допустимы.
Почему так
Дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель не равен нулю: делить на ноль нельзя.
\(\frac{9}{y}\): \(y\neq 0\).
\(\frac{x+7}{x+9}\): \(x+9\neq 0\), поэтому \(x\neq -9\).
\(\frac{m-1}{m^2-9}\):
\[ m^2-9=(m-3)(m+3)\neq 0, \] значит \(m\neq 3\) и \(m\neq -3\).\(\frac{x}{|x|-3}\):
\[ |x|-3\neq 0 \Rightarrow |x|\neq 3 \Rightarrow x\neq 3,\ x\neq -3. \]\(\frac{4}{x-8}+\frac{1}{x-1}\): оба знаменателя должны быть ненулевыми: \[ x-8\neq 0,\quad x-1\neq 0, \] то есть \(x\neq 8\), \(x\neq 1\).
\(\frac{2x-3}{(x+2)(x-10)}\):
\[ (x+2)(x-10)\neq 0, \] поэтому \(x\neq -2\), \(x\neq 10\).
Проверка: например, в пункте 3 при \(m=3\) получаем знаменатель \(3^2-9=0\), выражение не имеет смысла. А при \(m=0\) знаменатель равен \(-9\), всё нормально.
Полезно запомнить способ: выписываем знаменатель, приравниваем его к нулю, находим «запрещённые» числа и исключаем их. Ноль в числителе при этом не запрещён.
Обсуждение
4 сообщенияПример как решать
Главное правило: дробь \(\frac{a}{b}\) имеет смысл только при \(b\neq 0\).
Ноль в числителе допустим, а ноль в знаменателе — нет.
Как решать:
- Смотрим на знаменатель.
- Записываем условие: знаменатель \(\neq 0\).
- Решаем его.
- Исключаем найденные значения.
Разбор примеров с фото
1) \(2x-5\) — знаменателя с переменной нет, значит: \[ x\in\mathbb R \] То есть \(x\) — любое число.
2) \(\frac{18}{m}\): \[ m\neq 0 \] Ответ: \[ m\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty) \]
3) \(\frac{9}{x-5}\): \[ x-5\neq 0 \] \[ x\neq 5 \] Ответ: \[ x\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty) \]
4) \(\frac{x-5}{9}\) — в знаменателе стоит число \(9\), оно не равно нулю. Значит, ограничений нет: \[ x\in\mathbb R \]
Ещё пример
Найти допустимые значения \(x\) для дроби: \[ \frac{3x}{x^2-4} \]
Знаменатель не должен быть равен нулю: \[ x^2-4\neq 0 \] \[ x^2\neq 4 \] \[ x\neq 2,\quad x\neq -2 \]
Ответ: \[ x\in(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty) \]
Небольшая поправка к тетради: \(\mathbb R\) — это множество действительных чисел, а не рациональных.
Решить как сверху ☝️
Выражение имеет смысл, если его знаменатель не равен нулю.
\(\dfrac{9}{y}\)
\[ y\neq 0 \] \[ y\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty) \]\(\dfrac{x+7}{x+9}\)
\[ x+9\neq 0 \Rightarrow x\neq -9 \] \[ x\in(-\infty;-9)\cup(-9;+\infty) \]\(\dfrac{m-1}{m^2-9}\)
\[ m^2-9\neq 0 \] \[ (m-3)(m+3)\neq 0 \] \[ m\neq 3,\quad m\neq -3 \] \[ m\in(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty) \]\(\dfrac{x}{|x|-3}\)
\[ |x|-3\neq 0 \] \[ |x|\neq 3 \] \[ x\neq 3,\quad x\neq -3 \] \[ x\in(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty) \]\(\dfrac{4}{x-8}+\dfrac{1}{x-1}\)
Оба знаменателя должны быть не равны нулю: \[ x-8\neq 0,\quad x-1\neq 0 \] \[ x\neq 8,\quad x\neq 1 \] \[ x\in(-\infty;1)\cup(1;8)\cup(8;+\infty) \]\(\dfrac{2x-3}{(x+2)(x-10)}\)
\[ (x+2)(x-10)\neq 0 \] \[ x+2\neq 0,\quad x-10\neq 0 \] \[ x\neq -2,\quad x\neq 10 \] \[ x\in(-\infty;-2)\cup(-2;10)\cup(10;+\infty) \]
Общее правило: выписываем знаменатель, приравниваем его к нулю, находим запрещённые значения и исключаем их из множества всех чисел.
