35. Сколько существует различных последовательностей из символов «+» и «−» длиной ровно три символа? Постройте схему и выпишите эти последовательности.

Краткий ответ: 8 последовательностей.

Это: +++, ++−, +−+, +−−, −++, −+−, −−+, −−−.

Как строится схема

Схема — это дерево: в кружке «*» записана пустая последовательность (начало). Каждый следующий кружок — это уже добавленный символ, а из каждого кружка выходят две стрелки: «+» и «−». Кружки без продолжения (листья) и есть готовые трёхсимвольные последовательности.

\[ *\rightarrow \begin{cases} +\rightarrow \begin{cases} +\rightarrow\begin{cases} +\\ - \end{cases}\\ -\rightarrow\begin{cases} +\\ - \end{cases} \end{cases}\\ -\rightarrow \begin{cases} +\rightarrow\begin{cases} +\\ - \end{cases}\\ -\rightarrow\begin{cases} +\\ - \end{cases} \end{cases} \end{cases} \]

Читаем символы по пути от «*» до листа:

• верхняя ветвь: \(+++\), \(++-\), \(+-+\), \(+--\);
• нижняя ветвь: \(-++\), \(-+-\), \(--+\), \(---\).

В таблицу «Ответ:» вписываем 8.

Почему именно 8

На 1-м месте — 2 варианта, на 2-м — 2, на 3-м — 2, и выбор на каждом месте не зависит от остальных. По правилу произведения:

\[ 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3} = 8 \]

Проверка. В списке 4 последовательности с «+» в начале и 4 с «−» — всего 8; все они различны и имеют длину ровно 3; в дереве глубины 3 ровно \(2^{3}=8\) листьев. Всё сходится.

Такой же приём работает для любой длины: для \(n\) символов дерево даёт \(2^{n}\) последовательностей.