реши подробно
Сверь числа и знаки с фото.
Дано: \(AD=3AB\) \(S_{\triangle AMC}=9\) \(BM=MC\) Найти: \(S_{ABCD}\)
[Рисунок: координатная плоскость; прямоугольник: A — справа вверху, B — на горизонтальной оси справа, нижняя левая вершина — в начале координат, верхняя левая вершина — на вертикальной оси (подпись [неразборчиво]); M — на горизонтальной оси между началом координат и B; наклонная прямая проходит через A и пересекает вертикальную ось ниже начала координат]
Краткий ответ: \(S_{ABCD}=36\).
Подробное решение
- Пусть \(AB=x\). По условию \(AD=3AB\), значит \(AD=3x\). В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому \(BC=AD=3x\).
- Так как \(BM=MC\), точка \(M\) — середина \(BC\): \[ MC=\frac{BC}{2}=\frac{3x}{2}. \]
- В треугольнике \(AMC\) основание \(MC\) лежит на прямой \(BC\), а высота из \(A\) равна \(AB=x\) (стороны прямоугольника перпендикулярны): \[ S_{\triangle AMC}=\frac{1}{2}\cdot MC\cdot AB =\frac{1}{2}\cdot\frac{3x}{2}\cdot x =\frac{3x^{2}}{4}. \]
- По условию \(S_{\triangle AMC}=9\): \[ \frac{3x^{2}}{4}=9 \;\Rightarrow\; 3x^{2}=36 \;\Rightarrow\; x^{2}=12 \;\Rightarrow\; x=2\sqrt{3}. \]
- Тогда \[ AB=2\sqrt{3},\qquad AD=3\cdot2\sqrt{3}=6\sqrt{3}, \] \[ S_{ABCD}=AB\cdot AD=2\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}=36. \]
Проверка. \(\frac{1}{4}S_{ABCD}=\frac{36}{4}=9\) — совпадает с площадью треугольника из условия.
Принцип. Треугольник с основанием \(MC=\frac12BC\) и той же высотой, что у прямоугольника, занимает ровно четверть его площади. Поэтому можно сразу: \(S_{ABCD}=4\cdot9=36\). Соотношение \(AD=3AB\) нужно только для нахождения самих сторон.
Уточнение по фото. Вершина треугольника читается неоднозначно (\(A\) или \(D\)), но ответ от этого не меняется: для \(\triangle DMC\) получаем \(DC=AB=x\) и \[ S_{\triangle DMC}=\frac12\cdot x\cdot\frac{3x}{2}=\frac{3x^2}{4}, \] то есть то же уравнение.
