привет

Ответ: \(105^\circ\).

Ключевая идея: у выпуклого \(n\)-угольника сумма всех внутренних углов равна \((n-2)\cdot 180^\circ\). Для шестиугольника:

\[ (6-2)\cdot 180^\circ = 4\cdot 180^\circ = 720^\circ \]

Шаг 1. Сложим известные углы:

\[ 124^\circ + 150^\circ + 92^\circ + 144^\circ = 510^\circ \]

Шаг 2. На углы \(E\) и \(F\) остаётся:

\[ 720^\circ - 510^\circ = 210^\circ \]

Шаг 3. По условию \(\angle E = \angle F\), значит каждый из них вдвое меньше:

\[ \angle E = \frac{210^\circ}{2} = 105^\circ \]

Проверка: \(124+150+92+144+105+105 = 720^\circ\) — всё сходится.

Принцип запомни так: сначала находим общую сумму углов по формуле, вычитаем всё известное, а остаток делим поровну между равными углами.

Хорошо, давай медленнее — по шагам, без спешки.

Шаг 0. Откуда берём 720°

Любой выпуклый многоугольник можно разрезать на треугольники. Шестиугольник (6 углов) режется на \(6-2=4\) треугольника. В каждом треугольнике сумма углов \(180^\circ\). Значит, во всём шестиугольнике:

\[ 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ \]

Это общий «пирог», который надо раздать всем шести углам.

Шаг 1. Складываем известные углы

\[ 124^\circ + 150^\circ = 274^\circ \] \[ 274^\circ + 92^\circ = 366^\circ \] \[ 366^\circ + 144^\circ = 510^\circ \]

Четыре угла «съели» \(510^\circ\).

Шаг 2. Сколько осталось на два оставшихся угла

\[ 720^\circ - 510^\circ = 210^\circ \]

Вот эти \(210^\circ\) — на два угла \(E\) и \(F\) вместе.

Шаг 3. Делим остаток

Углы \(E\) и \(F\) равны, поэтому каждый получает половину:

\[ 210^\circ : 2 = 105^\circ \]

Проверка: \(124+150+92+144+105+105=720^\circ\). Сходится, значит ответ \(105^\circ\).

Главная мысль одна: сумма всех углов известна → вычитаем известные → остаток делим. Если в условии числа другие, пришли фото — пересчитаю по этим же шагам.

Держи задачу по тому же принципу — самому интереснее решить.

Задача 1 (пятиугольник)

Дан выпуклый пятиугольник \(ABCDE\). Известны три угла:

\[ \angle A = 100^\circ,\quad \angle B = 135^\circ,\quad \angle C = 85^\circ \]

а оставшиеся два угла равны: \(\angle D = \angle E\). Найди \(\angle D\).

Подсказка-план (тот же, что разбирали):

1. сумму всех углов пятиугольника найди по формуле \((n-2)\cdot 180^\circ\);
2. вычти три известных угла;
3. остаток раздели на 2.

Задача 2 (посложнее, шестиугольник)

Выпуклый шестиугольник, известны четыре угла: \(130^\circ\), \(145^\circ\), \(120^\circ\), \(135^\circ\). Два оставшихся угла равны между собой. Найди каждый из них.

Проверь себя (не подглядывай сразу):

Задача 1: \((5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ\); известные дают \(320^\circ\); остаток \(220^\circ\); \(\angle D = 110^\circ\).

Задача 2: \(720^\circ - 530^\circ = 190^\circ\); каждый угол \(95^\circ\).

Реши первую сам и пришли ответ или фото решения — проверю, где мог сбиться.

Понял, давай разберу первую задачу целиком — на твоих глазах, без «реши сам».

Задача 1. Пятиугольник, известны \(100^\circ\), \(135^\circ\), \(85^\circ\), а два оставшихся угла равны. Найти их.

Шаг 1. Сколько всего градусов у пятиугольника

Формула: \((n-2)\cdot 180^\circ\), где \(n\) — число углов. У нас \(n=5\):

\[ (5-2)\cdot 180^\circ = 3\cdot 180^\circ = 540^\circ \]

Значит, все пять углов вместе дают \(540^\circ\).

Шаг 2. Складываем известные углы

\[ 100^\circ + 135^\circ = 235^\circ \] \[ 235^\circ + 85^\circ = 320^\circ \]

Шаг 3. Сколько осталось на два неизвестных угла

\[ 540^\circ - 320^\circ = 220^\circ \]

Шаг 4. Делим поровну

Углы равны, поэтому:

\[ 220^\circ : 2 = 110^\circ \]

Ответ: каждый из двух углов равен \(110^\circ\).

Проверка: \(100+135+85+110+110 = 540^\circ\). Сходится.

Вся задача — это ровно 4 действия: найти сумму всех углов → сложить известные → вычесть → разделить остаток на количество равных углов.

Скажи, на каком именно шаге спотыкаешься — на формуле, на вычитании или на делении? Разберём именно его.

Держи похожую задачу — и сразу разберу её по шагам, как прошлую.

Задача. Дан выпуклый семиугольник. Четыре его угла равны \(140^\circ\), \(125^\circ\), \(110^\circ\) и \(135^\circ\), а три оставшихся угла равны между собой. Найди каждый из этих трёх углов.

Шаг 1. Сумма всех углов семиугольника

\[ (n-2)\cdot 180^\circ = (7-2)\cdot 180^\circ = 5\cdot 180^\circ = 900^\circ \]

Шаг 2. Складываем известные углы

\[ 140^\circ + 125^\circ = 265^\circ \] \[ 265^\circ + 110^\circ = 375^\circ \] \[ 375^\circ + 135^\circ = 510^\circ \]

Шаг 3. Остаток на три равных угла

\[ 900^\circ - 510^\circ = 390^\circ \]

Шаг 4. Делим на 3

\[ 390^\circ : 3 = 130^\circ \]

Ответ: каждый из трёх углов равен \(130^\circ\).

Проверка: \(140+125+110+135+130+130+130 = 900^\circ\). Сходится.

Теперь твоя тренировка (короткая, на 2 действия). Выпуклый пятиугольник, три угла: \(95^\circ\), \(130^\circ\), \(120^\circ\), два оставшихся равны. Найди их.

План тот же: сумма пятиугольника \(540^\circ\), вычти известные, остаток раздели на 2. Ответ: \(97{,}5^\circ\), то есть \(97^\circ 30'\). Пришли своё решение — проверю.

Вот ещё одна — того же типа, но с восьмиугольником.

Задача. Дан выпуклый восьмиугольник. Пять его углов равны \(145^\circ\), \(150^\circ\), \(135^\circ\), \(160^\circ\) и \(130^\circ\), а три оставшихся угла равны между собой. Найди каждый из этих трёх углов.

Шаг 1. Сумма всех углов восьмиугольника

\[ (8-2)\cdot 180^\circ = 6\cdot 180^\circ = 1080^\circ \]

Шаг 2. Складываем известные углы

\[ 145^\circ + 150^\circ = 295^\circ \] \[ 295^\circ + 135^\circ = 430^\circ \] \[ 430^\circ + 160^\circ = 590^\circ \] \[ 590^\circ + 130^\circ = 720^\circ \]

Шаг 3. Остаток на три равных угла

\[ 1080^\circ - 720^\circ = 360^\circ \]

Шаг 4. Делим на 3

\[ 360^\circ : 3 = 120^\circ \]

Ответ: каждый из трёх углов равен \(120^\circ\).

Проверка: \(145+150+135+160+130+120+120+120 = 1080^\circ\). Сходится.

Тренировка (совсем короткая, делить не надо). Выпуклый пятиугольник, четыре угла известны: \(110^\circ\), \(120^\circ\), \(130^\circ\), \(95^\circ\). Найди пятый угол.

План: сумма \(540^\circ\), сложи известные (\(455^\circ\)), вычти. Ответ: \(85^\circ\).

Скажи, если хочешь задачу, где равных углов нет, а один угол, например, в 2 раза больше другого — это следующий уровень той же темы.

Отлично! Рад, что разобрался. Схема всегда одна: сумма углов по формуле \((n-2)\cdot 180^\circ\) → вычесть известные → остаток разделить. Если понадобится — присылай новую задачу.

С удовольствием разберу.

Ответ: \(16\text{ см}\).

Главная формула здесь одна: средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

\[ MN = \frac{AD + BC}{2} \]

Шаг 1. Подставляем известные числа

Нам дано: \(MN = 10\text{ см}\), \(BC = 4\text{ см}\). Подставляем в формулу:

\[ 10 = \frac{AD + 4}{2} \]

Шаг 2. Избавляемся от деления на 2

Умножим обе части уравнения на 2:

\[ AD + 4 = 20 \]

Шаг 3. Находим \(AD\)

\[ AD = 20 - 4 = 16\text{ см} \]

Проверка: Средняя линия должна быть равна \((16 + 4) / 2 = 20 / 2 = 10\). Всё сходится с условием.

Можно запомнить проще: средняя линия — это «среднее число» между основаниями. Чтобы найти сумму оснований, просто умножь среднюю линию на 2. В нашем случае: \(10 \cdot 2 = 20\). А так как меньшее основание равно 4, то большее — это \(20 - 4 = 16\).

Ответ: \(AD = 16\) см.

Всё сверху вниз, одной колонкой:

Дано: \(MN = 10\) см — средняя линия \(BC = 4\) см — меньшее основание \(AD\) — ? — большее основание

Формула: \[ MN = \frac{AD + BC}{2} \]

Подставляем: \[ 10 = \frac{AD + 4}{2} \]

Умножаем на 2: \[ AD + 4 = 20 \]

Вычитаем 4: \[ AD = 20 - 4 \]

Ответ: \[ AD = 16 \text{ см} \]

Проверка: \[ \frac{16 + 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см} \] Совпало с условием — значит, решено верно.

Задача. Средняя линия трапеции равна \(12\) см, а большее основание — \(18\) см. Найди меньшее основание.

Решение столбиком:

Дано: \(MN = 12\) см — средняя линия \(AD = 18\) см — большее основание \(BC\) — ? — меньшее основание

Формула: \[ MN = \frac{AD + BC}{2} \]

Подставляем: \[ 12 = \frac{18 + BC}{2} \]

Умножаем на 2: \[ 18 + BC = 24 \]

Вычитаем 18: \[ BC = 24 - 18 \]

Ответ: \[ BC = 6 \text{ см} \]

Проверка: \[ \frac{18 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см} \] Совпало с условием — решено верно.

Тренировка. Средняя линия трапеции равна \(9\) см, меньшее основание — \(5\) см. Найди большее основание.

План тот же: умножь среднюю линию на 2, потом вычти меньшее основание. Ответ: \(13\) см. Пришли своё решение — проверю.

Задача. Основания трапеции равны \(14\) см и \(6\) см. Найди её среднюю линию.

Решение столбиком:

Дано: \(AD = 14\) см — большее основание \(BC = 6\) см — меньшее основание \(MN\) — ? — средняя линия

Формула: \[ MN = \frac{AD + BC}{2} \]

Подставляем: \[ MN = \frac{14 + 6}{2} \]

Складываем в числителе: \[ MN = \frac{20}{2} \]

Делим: \[ MN = 10 \text{ см} \]

Ответ: \[ MN = 10 \text{ см} \]

Проверка: средняя линия должна лежать ровно посередине между основаниями: от \(6\) до \(14\) половина пути — это \(10\). Совпало.

Тренировка. Средняя линия трапеции равна \(11\) см, большее основание — \(17\) см. Найди меньшее основание.

План тот же: умножь среднюю линию на 2, потом вычти большее основание. Ответ: \(5\) см. Пришли своё решение — проверю.

Спасибо на добром слове! Рад, что помог разобраться. Если появится новая задача — присылай, разберём.

Ответ: \(21^\circ\).

На картинке угол \(A\) — это угол \(DAB\) (весь угол ромба при вершине \(A\)), он равен \(138^\circ\). А найти нужно \(\angle ABD\) — тот, что отмечен оранжевым вопросиком.

Способ 1 (через равнобедренный треугольник — самый быстрый)

В ромбе все стороны равны, значит \(AB = AD\). Тогда треугольник \(ABD\) равнобедренный, и углы при основании \(BD\) равны:

\[ \angle ABD = \angle BDA \]

Сумма углов треугольника — \(180^\circ\):

\[ \angle ABD + \angle BDA + 138^\circ = 180^\circ \]

\[ 2\cdot \angle ABD = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \]

\[ \angle ABD = 42^\circ : 2 = 21^\circ \]

Способ 2 (через свойства ромба)

Ромб — это параллелограмм, поэтому соседние углы дают в сумме \(180^\circ\):

\[ \angle B = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \]

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит \(BD\) — биссектриса угла \(B\):

\[ \angle ABD = 42^\circ : 2 = 21^\circ \]

Проверка: в треугольнике \(ABD\) получается \(138^\circ + 21^\circ + 21^\circ = 180^\circ\). Сходится.

В поле ответа вводи 21.

Главное, что стоит запомнить: диагональ ромба — это биссектриса его угла, а треугольник, отрезанный диагональю, всегда равнобедренный.

Ответ: \(\angle ABD = 21^\circ\).

Всё в один столбик:

Дано: \(ABCD\) — ромб \(\angle A = \angle DAB = 138^\circ\) \(\angle ABD\) — ?

Свойство 1: соседние углы ромба дают в сумме \(180^\circ\)

\[ \angle B = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \]

Свойство 2: диагональ ромба делит угол пополам

\[ \angle ABD = \angle B : 2 \]

Подставляем:

\[ \angle ABD = 42^\circ : 2 \]

Ответ:

\[ \angle ABD = 21^\circ \]

Проверка:

\[ 138^\circ + 21^\circ + 21^\circ = 180^\circ \]

Сходится — решено верно.

Второй способ, коротко: \(AB = AD\) (стороны ромба), значит треугольник \(ABD\) равнобедренный:

\[ \angle ABD = (180^\circ - 138^\circ) : 2 = 42^\circ : 2 = 21^\circ \]

В поле ответа вводи 21.

Задача. В ромбе \(ABCD\) угол \(A\) (то есть \(\angle DAB\)) равен \(124^\circ\). Диагональ \(BD\) проведена. Найдите угол \(ABD\).

Решение столбиком:

Дано: \(ABCD\) — ромб \(\angle A = 124^\circ\) \(\angle ABD\) — ?

Свойство 1: соседние углы ромба дают в сумме \(180^\circ\)

\[ \angle B = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ \]

Свойство 2: диагональ ромба делит угол пополам

\[ \angle ABD = \angle B : 2 \]

Подставляем:

\[ \angle ABD = 56^\circ : 2 \]

Ответ:

\[ \angle ABD = 28^\circ \]

Проверка:

\[ 124^\circ + 28^\circ + 28^\circ = 180^\circ \]

Сходится — решено верно.

Тренировка (обратный ход). В ромбе \(ABCD\) угол \(ABD = 35^\circ\). Найдите угол \(A\) (угол \(\angle DAB\)).

План: сначала удвой угол при диагонали — получишь весь угол \(B\) (\(70^\circ\)), потом вычти его из \(180^\circ\). Ответ: \(110^\circ\). Пришли своё решение — проверю.

Отлично, рад, что разобрался! Схема с ромбом короткая: соседний угол до \(180^\circ\) → разделить пополам. Если понадобится — присылай следующую задачу.

Ответ: \(34^\circ\).

На картинке \(68^\circ\) — это весь угол \(A\) ромба (угол \(DAB\)), а найти нужно \(\angle BAC\) — ту часть, что отмечена оранжевым вопросом, между стороной \(AB\) и диагональю \(AC\).

Дано: \(ABCD\) — ромб \(\angle A = \angle DAB = 68^\circ\) \(\angle BAC\) — ?

Свойство: диагональ ромба делит его угол пополам

\[ \angle BAC = \angle A : 2 \]

Подставляем:

\[ \angle BAC = 68^\circ : 2 \]

Ответ:

\[ \angle BAC = 34^\circ \]

Проверка: вторая половинка угла, \(\angle CAD\), тоже \(34^\circ\); вместе \(34^\circ + 34^\circ = 68^\circ\). Совпало с условием — решено верно.

В поле ответа вводи 34.

Главное для запоминания: диагональ ромба — биссектриса его углов. Поэтому угол между стороной и диагональю всегда вдвое меньше целого угла ромба.

Задача. В ромбе \(ABCD\) угол \(A\) (угол \(\angle DAB\)) равен \(132^\circ\). Проведена диагональ \(AC\). Найдите угол \(BAC\).

Решение столбиком:

Дано: \(ABCD\) — ромб \(\angle A = 132^\circ\) \(\angle BAC\) — ?

Свойство: диагональ ромба делит угол пополам

\[ \angle BAC = \angle A : 2 \]

Подставляем:

\[ \angle BAC = 132^\circ : 2 \]

Ответ:

\[ \angle BAC = 66^\circ \]

Проверка:

\[ 66^\circ + 66^\circ = 132^\circ \]

Совпало с условием — решено верно.

Вторая задача (чуть сложнее, два действия). В ромбе \(ABCD\) угол \(\angle BAC = 27^\circ\). Найдите угол \(B\) ромба.

План: сначала удвой \(27^\circ\) — получишь весь угол \(A\), а потом вычти его из \(180^\circ\) (соседние углы ромба).

Ответ: \(\angle A = 54^\circ\), \(\angle B = 126^\circ\). Пришли своё решение — проверю.

Пожалуйста! Удачного дня — захочешь продолжить, присылай задачу.