номер 151

Коротко

График функции \(y=-x^2+2x+8\) — парабола, ветви которой направлены вниз. Её вершина — точка \((1;9)\), ось симметрии — прямая \(x=1\), нули функции — \(x=-2\) и \(x=4\).

а) \(y(2{,}5)=6{,}75;\quad y(-0{,}5)=6{,}75;\quad y(-3)=-7\).

б)
\(y=6\) при \(x=1\pm\sqrt3\approx -0{,}73;\ 2{,}73\);
\(y=0\) при \(x=-2;\ 4\);
\(y=-2\) при \(x=1\pm\sqrt{11}\approx -2{,}32;\ 4{,}32\).

в) Нули: \(-2\) и \(4\).
\(y>0\) при \(x\in(-2;4)\);
\(y<0\) при \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)\).

г) Функция возрастает на \((-\infty;1]\), убывает на \([1;+\infty)\).
Множество значений: \(E(y)=(-\infty;9]\).

---

Как построить график

Удобно выделить полный квадрат:

\[ y=-x^2+2x+8=-(x^2-2x)+8=-(x-1)^2+9 \]

Отсюда сразу видно: вершина параболы — точка \((1;9)\). Так как коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\), ветви направлены вниз.

Составим таблицу точек:

\(x\)	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
\(y\)	-7	0	5	8	9	8	5	0	-7

Наносим эти точки на координатную плоскость и проводим через них плавную кривую. Парабола проходит через \((-2;0)\) и \((4;0)\), поднимается до вершины \((1;9)\), а затем симметрично опускается.

---

Пункт а

Подставляем значения \(x\):

\[ y(2{,}5)=-(2{,}5)^2+2\cdot2{,}5+8 =-6{,}25+5+8=6{,}75 \]

\[ y(-0{,}5)=-(-0{,}5)^2+2\cdot(-0{,}5)+8 =-0{,}25-1+8=6{,}75 \]

\[ y(-3)=-(-3)^2+2\cdot(-3)+8=-9-6+8=-7 \]

По графику это вертикальные прямые \(x=2{,}5\), \(x=-0{,}5\) и \(x=-3\): они пересекают параболу в найденных точках.

---

Пункт б

Здесь наоборот: задано \(y\), нужно найти \(x\). На графике проводим горизонтальные прямые.

При \(y=6\):

\[ -x^2+2x+8=6 \]

\[ x^2-2x-2=0 \]

\[ x=1\pm\sqrt3 \]

То есть \(x\approx -0{,}73\) и \(x\approx 2{,}73\). Горизонтальная прямая \(y=6\) пересекает параболу в двух точках.

При \(y=0\):

\[ -x^2+2x+8=0 \]

\[ x^2-2x-8=0 \]

\[ (x+2)(x-4)=0 \]

\[ x=-2;\quad x=4 \]

Это и есть нули функции — точки пересечения параболы с осью \(Ox\).

При \(y=-2\):

\[ -x^2+2x+8=-2 \]

\[ x^2-2x-10=0 \]

\[ x=1\pm\sqrt{11} \]

То есть \(x\approx -2{,}32\) и \(x\approx 4{,}32\).

---

Пункт в

Нули функции мы уже нашли: \(x=-2\) и \(x=4\).

Парабола ветвями вниз, поэтому между корнями она находится выше оси \(Ox\), а вне этого промежутка — ниже:

• \(y>0\) при \(x\in(-2;4)\);
• \(y<0\) при \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)\).

В самих точках \(x=-2\) и \(x=4\) значение функции равно нулю.

---

Пункт г

Вершина параболы — самая высокая точка, поэтому:

• слева от вершины, то есть при \(x\in(-\infty;1]\), функция возрастает;
• справа от вершины, то есть при \(x\in[1;+\infty)\), функция убывает.

Наибольшее значение функции равно \(9\), а ниже она может принимать сколь угодно большие по модулю отрицательные значения:

\[ E(y)=(-\infty;9]. \]

Проверка: \(y(1)=9\), \(y(-2)=y(4)=0\), \(y(0)=y(2)=8\). Все эти точки согласуются с построенным графиком.