номер 151

Question

номер 151

Расшифровка фото нейросетью:
151. Постройте график функции $y = -x^{2} + 2x + 8$ и найдите, используя график:
а) значения функции при $x = 2{,}5$; $-0{,}5$; $-3$;
б) значения аргумента, при которых $y = 6$; $0$; $-2$;
в) нули функции и промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания и убывания функции, множество значений функции.

Answer

Краткий ответ

$$
y=-x^{2}+2x+8=9-(x-1)^{2}.
$$

Это парабола с вершиной $(1;9)$, ветви направлены вниз, нули функции $x=-2$ и $x=4$.

а) $y(2{,}5)=6{,}75$; $y(-0{,}5)=6{,}75$; $y(-3)=-7$.

б) $y=6$ при $x=1\pm\sqrt{3}\approx 2{,}7$ и $-0{,}7$;
$y=0$ при $x=-2$ и $x=4$;
$y=-2$ при $x=1\pm\sqrt{11}\approx 4{,}3$ и $-2{,}3$.

в) Нули: $-2$ и $4$. $y>0$ при $x\in(-2;4)$; $y<0$ при $x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)$.

г) Возрастает на $(-\infty;1]$, убывает на $[1;+\infty)$. Множество значений: $(-\infty;9]$.

Почему так: ключевые шаги

1. Приводим формулу к виду, по которому видна вершина

$$
y=-x^{2}+2x+8=-(x^{2}-2x)+8=-(x^{2}-2x+1)+1+8=-(x-1)^{2}+9.
$$

Формула $y=a(x-m)^{2}+n$ сразу показывает: $a=-1<0$, значит, ветви вниз; вершина $(m;n)=(1;9)$; ось симметрии $x=1$.

2. Находим нули и контрольные точки

Нули — это решения уравнения $y=0$:

$$
9-(x-1)^{2}=0 \Rightarrow (x-1)^{2}=9 \Rightarrow x-1=\pm 3.
$$

Отсюда $x=-2$ и $x=4$.

Полезные точки для построения:

$$
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\
\hline
y & -7 & 0 & 5 & 8 & 9 & 8 & 5 & 0 & -7
\end{array}
$$

Строим плавную параболу через эти точки: вершина $(1;9)$, проходит через $(-2;0)$, $(4;0)$, $(0;8)$ и симметричную ей $(2;8)$.

3. Как читать ответы по графику

а) Проводим вертикальные прямые $x=2{,}5$, $x=-0{,}5$, $x=-3$ и смотрим высоту точки параболы. Точки $x=2{,}5$ и $x=-0{,}5$ симметричны относительно $x=1$, поэтому значения одинаковые: $6{,}75$. При $x=-3$ получаем $y=-7$.

б) Проводим горизонтальные прямые $y=6$, $y=0$, $y=-2$ и считаем точки пересечения с параболой. Например, для $y=6$:
$$
9-(x-1)^{2}=6 \Rightarrow (x-1)^{2}=3 \Rightarrow x=1\pm\sqrt{3}.
$$
Для $y=0$ это просто нули $-2$ и $4$. Для $y=-2$:
$$
9-(x-1)^{2}=-2 \Rightarrow (x-1)^{2}=11 \Rightarrow x=1\pm\sqrt{11}.
$$

в) Знак функции: парабола выше оси $Ox$ между корнями, ниже — вне их.

г) Слева от вершины при движении вправо график поднимается — функция возрастает; справа от вершины опускается — убывает. Наибольшее значение равно $9$, поэтому множество значений $(-\infty;9]$.

Проверка

Раскроем скобки: $9-(x-1)^{2}=9-x^{2}+2x-1=-x^{2}+2x+8$ — формула верна.

Проверим пункт а):
$$
y(2{,}5)=9-(1{,}5)^{2}=9-2{,}25=6{,}75,
$$
$$
y(-0{,}5)=9-(-1{,}5)^{2}=6{,}75,
$$
$$
y(-3)=9-(-4)^{2}=9-16=-7.
$$

Всё совпадает с графиком. Главный принцип: все пункты задания сводятся к пересечению параболы с вертикальными и горизонтальными прямыми, а также к её положению относительно оси $Ox$.