9. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- На рисунке изображены график функции \(y=f(x)\) и касательная к нему в точке с абсциссой \(x_0\). Найдите значение производной функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).
[Рисунок: координатная плоскость с осями \(x\) и \(y\); изображены график функции \(y=f(x)\) — кривая — и касательная к нему прямая. На оси \(x\) отмечены \(-4\), \(x_0\), \(1\); на оси \(y\) отмечены \(7\), \(1\), \(-2\). Касательная проходит через точки \((-4;0)\) и \((0;7)\).]
Краткий ответ: \(f'(x_0)=1{,}75\).
Как понять решение
- Производная в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке.
- Угловой коэффициент прямой считают по двум её точкам: \[ k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \]
- По рисунку касательная проходит через отмеченные точки \((-4;0)\) и \((0;7)\). Подставляем: \[ f'(x_0)=\frac{7-0}{0-(-4)}=\frac{7}{4}=1{,}75. \]
Проверка: если от точки \((-4;0)\) сместиться на \(4\) вправо, прямая поднимется на \(7\) вверх. Значит, наклон действительно \(\frac{7}{4}\), то есть \(1{,}75\).
Обсуждение
3 сообщенияРеши задание 9
Реши другим способом
Ответ тот же: \(f'(x_0)=1{,}75\), но считаю иначе — через уравнение касательной.
Другой способ
Касательная — это прямая, значит её можно записать как \[ y=kx+b, \] причём \(k=f'(x_0)\). Нужно найти только \(k\).
- Прямая пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;7)\). Подставляем \(x=0,\ y=7\): \[ 7=k\cdot 0+b \quad\Rightarrow\quad b=7. \]
- Теперь берём вторую точку \((-4;0)\) и подставляем в \(y=kx+7\): \[ 0=k\cdot(-4)+7 \quad\Rightarrow\quad 4k=7 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{7}{4}=1{,}75. \]
- Значит, \[ f'(x_0)=k=1{,}75. \]
Почему это работает: свободный член \(b\) — это просто «высота», на которой прямая пересекает ось \(Oy\). Найдя её по рисунку, мы оставляем в уравнении одно неизвестное \(k\) и находим его по любой второй точке. В первом способе мы фактически делили «подъём на спуск» между двумя точками, здесь — сначала фиксируем начало, потом считаем наклон.
Проверка: подставим в \(y=1{,}75x+7\): при \(x=-4\) получаем \(-7+7=0\) ✓, при \(x=0\) получаем \(7\) ✓ — обе точки с рисунка лежат на прямой.
Если под «заданием 9» имелось в виду другое задание с фото — пришли его, разберу так же.
