Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Краткий ответ (соответствия)

Как это получается

1. \(\displaystyle\frac{8a^3}{15b}\cdot\frac{3}{4a^4}=\frac{8\cdot 3\cdot a^3}{15\cdot 4\cdot b\cdot a^4}=\frac{24}{60}\cdot\frac{a^3}{a^4 b}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{ab}=\frac{2}{5ab}\)

2. Деление заменяем умножением на перевёрнутую дробь: \(\displaystyle\frac{3z}{10a^3}:\frac{2}{5a^2}=\frac{3z}{10a^3}\cdot\frac{5a^2}{2}=\frac{15a^2 z}{20a^3}=\frac{3z}{4a}\)

3. \(\displaystyle\frac{12}{25c}\cdot\frac{5c^4}{4y}=\frac{12\cdot 5\cdot c^4}{25c\cdot 4\cdot y}=\frac{60c^4}{100cy}=\frac{3c^3}{5y}\)

4. \(\displaystyle\frac{8c}{21d^2}:\frac{4c^2}{3d}=\frac{8c}{21d^2}\cdot\frac{3d}{4c^2}=\frac{8\cdot 3\cdot c\cdot d}{21d^2\cdot 4c^2}=\frac{24cd}{84d^2c^2}=\frac{2}{7cd}\)

Проверка

• В каждом ответе сокращаются и числа (коэффициенты), и одинаковые буквы — степени вычитаются: при делении \(a^4\) на \(a^3\) остаётся \(a\) в знаменателе.
• Ответы совпадают с плитками внизу, поэтому соответствия верные. Плиток внизу пять, а выражений четыре — одна плитка лишняя (распределять её не нужно).

Небольшое уточнение: в четвёртом выражении знаменатель первой дроби на фото читается нечётко — я взял \(21d^2\), потому что именно при нём получается вариант \(\frac{2}{7cd}\). Если там всё-таки \(21t^2\), то ответ будет \(\frac{2d}{7t^2c}\) — пришлите фрагмент крупнее, и я пересчитаю.

Ответ: \(5\)

Это новое задание, но тема та же — упрощение алгебраических дробей. Сначала выполняем деление, потом вычитание.

\[ \frac{6n-12}{n-2}-\frac{75}{n^2-4}:\frac{75}{(n-2)^2}-\frac{4}{n+2} \]

1. Первая дробь:

\[ \frac{6n-12}{n-2}=\frac{6(n-2)}{n-2}=6 \]

2. Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{75}{n^2-4}:\frac{75}{(n-2)^2} = \frac{75}{(n-2)(n+2)}\cdot\frac{(n-2)^2}{75} = \frac{n-2}{n+2} \]

3. Подставляем в исходное выражение:

\[ 6-\frac{n-2}{n+2}-\frac{4}{n+2} = 6-\frac{n-2+4}{n+2} = 6-\frac{n+2}{n+2} = 6-1=5 \]

Проверка: при \(n=0\):

\[ \frac{-12}{-2}-\frac{75}{-4}:\frac{75}{4}-\frac{4}{2} =6-(-1)-2=5 \]

В поле ответа нужно вписать 5.

Ответ: \(0{,}25\)

Это отдельное новое задание (тема «Степень»), решаю его.

1. Сократим дробь: \(-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}\).
2. Возводим в квадрат: \(\left(-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\) — минус в чётной степени исчезает.
3. Переводим в десятичную дробь: \(\frac{1}{4}=0{,}25\).

В поле ответа введите 0,25 (или 0.25, если разделитель — точка).

Проверка: \(0{,}25^2=\frac{1}{16}\), и \(\left(\frac{4}{8}\right)^2=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\) — сходится.

Ответ: в списке выбираем \(b^4\); значение выражения при \(b=-0{,}1\) равно \(0{,}0001\).

Решение

1. Упрощение.

\[ \frac{(b^5)^4}{(b^4)^4}=\frac{b^{5\cdot 4}}{b^{4\cdot 4}}=\frac{b^{20}}{b^{16}}=b^{20-16}=b^4 \]

Правила: степень степени — показатели перемножаются; при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

2. Значение при \(b=-0{,}1\).

\[ (-0{,}1)^4=(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)\cdot(-0{,}1)=0{,}0001 \]

Чётная степень «съедает» минус, поэтому результат положительный: \((0{,}1)^4=0{,}0001\).

В поле ответа введите 0,0001 (если поле не принимает столько знаков после запятой — 0.0001).

Это отдельное новое задание по алгебре — разложение многочлена на множители.

Верный вариант — четвёртый: \[ p^2(k-p)(k+1) \]

Значение при \(p=2,\ k=2{,}6\): \[ 8{,}64 \]

Как получилось

Так как \(p-k=-(k-p)\), то \[ -p^2(p-k)=+p^2(k-p). \] Тогда \[ kp^2(k-p)-p^2(p-k) = kp^2(k-p)+p^2(k-p) = p^2(k-p)(k+1). \]

Подставляем: \[ p^2=4,\quad k-p=2{,}6-2=0{,}6,\quad k+1=3{,}6. \] \[ 4\cdot 0{,}6\cdot 3{,}6=8{,}64. \]

В поле ответа введите 8,64.

Это продолжение той же темы — сокращение алгебраических дробей, поэтому решаю в текущем чате.

Правильный вариант — второй: \(\frac{1}{2}\). Значение дроби при \(a=-43\): \(0{,}5\).

Сокращение

Разложим числитель и знаменатель на множители:

\[ 6a-18=6(a-3),\qquad 12a-36=12(a-3) \]

\[ \frac{6a-18}{12a-36}=\frac{6(a-3)}{12(a-3)}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2} \]

Общий множитель \(6(a-3)\) сокращается (при \(a\ne 3\)).

Почему не остальные варианты:

• \(\frac{a-1}{2a-2}=\frac{a-1}{2(a-1)}=\frac12\) — значение то же, но дробь ещё сократимая, а нужна несократимая;
• \(\frac{6(a-3)}{12(a-3)}\) — это промежуточная запись, а не окончательный ответ;
• \(\frac12 a-\frac12=\frac{a-1}{2}\) — совсем другое выражение.

Значение при \(a=-43\)

\[ \frac{1}{2}=0{,}5 \]

Проверка подстановкой:

\[ \frac{6\cdot(-43)-18}{12\cdot(-43)-36}=\frac{-276}{-552}=0{,}5 \]

В поле ответа введите 0,5.

Это продолжение той же темы — действия с алгебраическими дробями, поэтому отвечаю здесь.

Верный вариант — четвёртый: \[ \frac{5x+2}{x^2-4} \]

Значение при \(x=-3\): \(-2{,}6\) (то есть \(-\frac{13}{5}\)).

Приведение к общему знаменателю

Общий знаменатель: \((x+2)(x-2)=x^2-4\). Домножаем каждую дробь на недостающий множитель:

\[ \frac{2}{x+2}+\frac{3}{x-2} = \frac{2(x-2)+3(x+2)}{(x+2)(x-2)} \]

Раскрываем скобки в числителе:

\[ 2x-4+3x+6=5x+2 \]

Получаем:

\[ \frac{5x+2}{x^2-4} \]

Дробь несократима: числитель \(5x+2\) не делится на \(x-2\) и на \(x+2\) (корень \(-0{,}4\) не совпадает с \(\pm 2\)).

Почему не подходят остальные варианты:

• \(\frac{5x}{x^2-4}\) — потеряли слагаемое \(2\) в числителе;
• \(\frac{5}{x^2-4}\) — ошиблись при сложении числителей;
• \(\frac{5x-2}{x^2-4}\) — перепутали знак;
• \(\frac{5}{(x+2)(x-2)}\) — это то же \(\frac{5}{x^2-4}\), снова неверный числитель.

Значение при \(x=-3\)

\[ \frac{5\cdot(-3)+2}{(-3)^2-4}=\frac{-15+2}{9-4}=\frac{-13}{5}=-2{,}6 \]

Проверка по исходному выражению: \[ \frac{2}{-3+2}+\frac{3}{-3-2}=\frac{2}{-1}+\frac{3}{-5}=-2-0{,}6=-2{,}6 \]

В поле ответа введите -2,6.

Это продолжение той же темы — умножение алгебраических дробей, поэтому решаю в текущем чате.

Верный вариант — второй: \[ \frac{t(t+z)}{9z^2} \]

Значение при \(t=0,\ z=100\): \(0\)

Упрощение

Раскладываем разность квадратов и сокращаем:

\[ \frac{3t^2z}{t-z}\cdot\frac{t^2-z^2}{27tz^3} = \frac{3t^2z\,(t-z)(t+z)}{(t-z)\cdot 27tz^3} \]

Множитель \(t-z\) сокращается:

\[ =\frac{3t^2z(t+z)}{27tz^3} =\frac{3}{27}\cdot\frac{t^2}{t}\cdot\frac{z}{z^3}\cdot(t+z) =\frac{1}{9}\cdot t\cdot\frac{1}{z^2}\cdot(t+z) =\frac{t(t+z)}{9z^2} \]

Значение

\[ \frac{t(t+z)}{9z^2}=\frac{0\cdot(0+100)}{9\cdot 100^2}=\frac{0}{90000}=0 \]

В поле ответа введите 0.

Почему остальные варианты не подходят

• \(\frac{t+z}{9z}\) — потерян множитель \(t\) в числителе и степень \(z\) в знаменателе;
• \(\frac{t^2z(t+z)}{9tz^2}\) — при сокращении даёт \(\frac{t(t+z)}{9z}\), степень \(z\) неверная;
• \(\frac{t(t+z)}{27z^2}\) — коэффициент \(\frac{3}{27}\) не сокращён до \(\frac19\).

Проверка при \(t=2,\ z=1\): исходное выражение даёт \(\frac{3\cdot4\cdot1}{1}\cdot\frac{3}{27\cdot2}=\frac{12\cdot3}{54}=\frac23\), а \(\frac{t(t+z)}{9z^2}=\frac{2\cdot3}{9}=\frac23\) — сходится.

Это продолжение текущей темы — все действия над алгебраическими дробями.

Верный вариант — четвёртый: \[ \frac{5t}{6} \]

Решение по шагам

1. Умножение (числитель на числитель, знаменатель на знаменатель):

\[ \frac{t^2}{4}\cdot\frac{2}{t}=\frac{2t^2}{4t}=\frac{t}{2} \]

Сократили \(2\) и \(4\) (осталось \(2\) в знаменателе), а \(t^2:t=t\).

2. Сложение — приводим к общему знаменателю \(6\):

\[ \frac{t}{2}+\frac{t}{3}=\frac{3t}{6}+\frac{2t}{6}=\frac{5t}{6} \]

Почему остальные не подходят

• \(\frac{t}{3}\) — потеряно первое слагаемое;
• \(\frac{2t^2+t}{4t+3}\) — складывать числители и знаменатели нельзя, это неверное приведение;
• \(\frac{2t}{5}\) — получилось бы при ошибочном сложении \(2\) и \(3\) в знаменателе;
• \(\frac{5t}{6}\) — верно.

Проверка при \(t=6\): исходное выражение даёт \(\frac{36}{4}\cdot\frac{2}{6}+2=9\cdot\frac13+2=3+2=5\), а \(\frac{5\cdot 6}{6}=5\) — сходится.

Выбирайте вариант \(\frac{5t}{6}\).

Это продолжение текущей темы — упрощение дробей, содержащих дроби в числителе и знаменателе.

Соответствия:

Как получилось

1. Числитель. Приводим к общему знаменателю \(x\):

\[ 2-\frac{1}{x}=\frac{2x}{x}-\frac{1}{x}=\frac{2x-1}{x} \]

2. Знаменатель. Аналогично:

\[ 2+\frac{1}{x}=\frac{2x+1}{x} \]

3. Деление. Дробь \(\frac{A}{B}\) — это \(A:B\), делим на перевёрнутую дробь:

\[ \frac{\dfrac{2x-1}{x}}{\dfrac{2x+1}{x}} = \frac{2x-1}{x}\cdot\frac{x}{2x+1} = \frac{(2x-1)\cdot x}{x\,(2x+1)} = \frac{2x-1}{2x+1} \]

Множители \(x\) сокращаются (при \(x\ne 0\)).

Проверка при \(x=1\): исходная дробь \(\frac{2-1}{2+1}=\frac13\), и \(\frac{2\cdot1-1}{2\cdot1+1}=\frac13\) — сходится.

Оставшиеся плитки \(\frac{1-2x}{x}\), \(\frac{2x+1}{2x-1}\) и \(1\) — лишние: первая отличается знаком, вторая получилась бы при обратном делении, а \(1\) — это лишь значение, к которому стремится дробь при больших \(x\).

Это продолжение того же задания — картинка та же, но внизу добавился новый пункт: «Вычислите значение выражения при \(x=2\)».

Соответствия (без изменений)

Раскладка по пустым полям сверху вниз:

1. \(2-\frac{1}{x}=\frac{2x-1}{x}\)
2. \(2+\frac{1}{x}=\frac{2x+1}{x}\)
3. \(\frac{\frac{2x-1}{x}}{\frac{2x+1}{x}}=\frac{2x-1}{2x+1}\)

Плитки \(\frac{1-2x}{x}\), \(\frac{2x+1}{2x-1}\) и \(1\) остаются лишними.

Новый пункт: значение при \(x=2\)

\[ \frac{2x-1}{2x+1}=\frac{2\cdot 2-1}{2\cdot 2+1}=\frac{3}{5}=0{,}6 \]

Проверка по исходной записи: \[ \frac{2-\frac12}{2+\frac12}=\frac{1{,}5}{2{,}5}=0{,}6 \]

В поле ответа введите 0,6 (или 3/5, если поле принимает дробь).

Это продолжение той же темы — алгебраические дроби, поэтому решаю здесь.

1. Когда выражение не имеет смысла

Дробь не имеет смысла, когда её знаменатель равен нулю:

\[ z^2-4=0 \;\Rightarrow\; (z-2)(z+2)=0 \]

Отсюда \(z=2\) и \(z=-2\).

Отмечаем галочками: \(-2\) и \(2\). Остальные значения (\(0,\ 4,\ \tfrac12,\ \tfrac14,\ 1\)) знаменатель в ноль не обращают.

2. Сокращение дроби

\[ \frac{z^2+4z+4}{z^2-4} = \frac{(z+2)^2}{(z-2)(z+2)} \]

Квадрат суммы в числителе и разность квадратов в знаменателе. Сокращаем общий множитель \(z+2\):

\[ \frac{(z+2)(z+2)}{(z-2)(z+2)}=\frac{z+2}{z-2} \]

Верный вариант — первый: \[ \frac{z+2}{z-2} \]

Почему остальные не подходят

• \(\frac{(z+2)^2}{z-2}\) — сократили только один множитель \(z+2\) в числителе, а надо было учесть весь;
• \(1\) — так было бы, только если числитель и знаменатель полностью совпадали;
• \(\frac{z-2}{z+2}\) — дробь перевёрнута.

Проверка при \(z=3\): \(\frac{9+12+4}{9-4}=\frac{25}{5}=5\), и \(\frac{3+2}{3-2}=5\) — сходится.

Важно: сокращение законно при \(z\ne -2\) (и, конечно, \(z\ne 2\)), то есть на области допустимых значений.

Это продолжение той же темы — умножение и упрощение алгебраических дробей. Решаю в текущем чате.

Упрощённое выражение: \[ -\frac{3(a+2)}{4} \]

Ответ (округление до целого): \(-7\)

Упрощение

\[ \frac{4a^2b^2-16b^2}{8ab}\cdot\frac{3a^2}{4ab-2a^2b} \]

1. Первая дробь — выносим \(4b^2\):

\[ \frac{4b^2(a^2-4)}{8ab}=\frac{b(a^2-4)}{2a} \]

2. Вторая дробь — выносим \(2ab\):

\[ \frac{3a^2}{4ab-2a^2b}=\frac{3a^2}{2ab(2-a)} \]

3. Перемножаем и сокращаем:

\[ \frac{b(a^2-4)}{2a}\cdot\frac{3a^2}{2ab(2-a)} = \frac{3a^2b(a^2-4)}{4a^2b(2-a)} = \frac{3(a^2-4)}{4(2-a)} \]

4. Замечаем, что \(2-a=-(a-2)\), а \(a^2-4=(a-2)(a+2)\):

\[ \frac{a^2-4}{2-a}=\frac{(a-2)(a+2)}{-(a-2)}=-(a+2) \]

Итого: \[ -\frac{3(a+2)}{4} \]

Значение при \(a=7,\ b=2\)

\[ -\frac{3\cdot(7+2)}{4}=-\frac{27}{4}=-6{,}75 \]

Ближайшее целое — \(-7\).

Проверка по исходной записи: \[ \frac{4\cdot49\cdot4-16\cdot4}{8\cdot7\cdot2}\cdot\frac{3\cdot49}{4\cdot7\cdot2-2\cdot49\cdot2} =\frac{720}{112}\cdot\frac{147}{-140} \approx 6{,}4286\cdot(-1{,}05)=-6{,}75 \]

В поле ответа введите -7.