Номер 4.42,4.47,4.50

Ответы:
4.42 — \(-\sqrt{ab}\);
4.47 — \(2ab\);
4.50 — \(2\).

4.42

Обозначим \[ x=\sqrt a,\qquad y=\sqrt b. \] Тогда \(\sqrt{ab}=xy\), а \(\sqrt{ab}+\sqrt a=x(y+1)\). В каждой скобке приведём дроби к общему знаменателю \(D=x^2y^2-1\):

\[ \frac{x+1}{xy+1}+\frac{x(y+1)}{xy-1}-1 =\frac{2xy(x+1)}{D}, \]

\[ \frac{x+1}{xy+1}-\frac{x(y+1)}{xy-1}+1 =-\frac{2(x+1)}{D}. \]

Поэтому \[ \frac{2xy(x+1)}{D}:\left(-\frac{2(x+1)}{D}\right) =-xy=-\sqrt{ab}. \]

Ответ: \(-\sqrt{ab}\).
Область определения: \(a,b\ge 0\), \(ab\ne1\).

4.47

Используем то, что \(\left(\frac{m}{n}\right)^{-1}=\frac{n}{m}\):

\[ a\cdot\frac{2b\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt b} + b\cdot\frac{2a\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}. \]

Вынесем общий множитель: \[ \frac{2ab\sqrt a+2ab\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b} = \frac{2ab(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a+\sqrt b} =2ab. \]

Ответ: \(2ab\).
Условие: \(a>0,\ b>0\).

4.50

Снова обозначим \[ x=\sqrt a,\qquad y=\sqrt b. \] Тогда \(a=x^2,\ b=y^2\), а выражение принимает вид \[ \left(\frac{2}{x-y} - \frac{2x}{x^3+y^3}\cdot \frac{x^2-xy+y^2}{x-y} \right) \frac{x^2-y^2}{y}. \]

Используем формулу суммы кубов: \[ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2). \] Поэтому дробь сокращается: \[ \frac{2x}{x^3+y^3}\cdot\frac{x^2-xy+y^2}{x-y} = \frac{2x}{(x+y)(x-y)}. \]

Тогда выражение в скобках: \[ \frac{2}{x-y}-\frac{2x}{(x+y)(x-y)} = \frac{2(x+y)-2x}{x^2-y^2} = \frac{2y}{x^2-y^2}. \]

Умножаем на \(\frac{x^2-y^2}{y}\): \[ \frac{2y}{x^2-y^2}\cdot\frac{x^2-y^2}{y}=2. \]

Ответ: \(2\).
Условие: \(a\ge0,\ b>0,\ a\ne b\).

Проверка при \(a=4,\ b=9\):
4.42 даёт \(-\sqrt{36}=-6\), 4.47 — \(2\cdot4\cdot9=72\), 4.50 — \(2\). Всё совпадает.

Главный приём: заменяй \(\sqrt a\) и \(\sqrt b\) новыми буквами \(x,y\). Тогда корни исчезают, и работают обычные формулы сокращённого умножения: разность квадратов, сумма кубов и т. д.